Hallar la derivada de las funciones $$ y=\frac{\operatorname{arcsen}\left(\ln x^{3}\right) \operatorname{sen}^{3}(x)}{\operatorname{sen} x} $$

Question

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Para hallar la derivada de la función:

$$
y = \frac{\arcsen\left(\ln x^{3}\right) \sen^{3}(x)}{\sen x}
$$

Primero simplificamos la expresión:

$$
y = \arcsen\left(\ln x^{3}\right) \cdot \frac{\sen^{3}(x)}{\sen(x)} = \arcsen(3 \ln x) \cdot \sen^{2}(x)
$$

Ahora, aplicamos la regla del producto para derivar $$ y $$:

$$
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left[ \arcsen(3 \ln x) \right] \cdot \sen^{2}(x) + \arcsen(3 \ln x) \cdot \frac{d}{dx}\left[ \sen^{2}(x) \right]
$$

Calculamos cada derivada por separado:

1. **Derivada de $$ \arcsen(3 \ln x) $$:**

$$
\frac{d}{dx}\left[ \arcsen(3 \ln x) \right] = \frac{3}{x \sqrt{1 - (3 \ln x)^{2}}}
$$

2. **Derivada de $$ \sen^{2}(x) $$:**

$$
\frac{d}{dx}\left[ \sen^{2}(x) \right] = 2 \sen(x) \cos(x) = \sen(2x)
$$

Sustituyendo estas derivadas en la expresión original:

$$
\frac{dy}{dx} = \frac{3 \sen^{2}(x)}{x \sqrt{1 - 9 (\ln x)^{2}}} + 2 \arcsen(3 \ln x) \sen(x) \cos(x)
$$

Por lo tanto, la derivada de la función es:

$$
\boxed{ \frac{dy}{dx} = \frac{3 \sen^{2}(x)}{x \sqrt{1 - 9\,(\ln x)^2}}\, +\, 2\,\arcsen(3 \ln x)\, \sen x \cos x }
$$
La derivada de la función $$ y = \frac{\arcsen\left(\ln x^{3}\right) \sen^{3}(x)}{\sen x} $$ es: $$ \frac{dy}{dx} = \frac{3 \sen^{2}(x)}{x \sqrt{1 - 9\,(\ln x)^2}}\, +\, 2\,\arcsen(3 \ln x)\, \sen x \cos x $$

Hallar la derivada
de las funciones

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