3. Исследовать на экстремум функцию $$ f(x, y)=-x^{2}+x y-y^{2}-9 x+3 y-20 $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Для исследования функции $$ f(x, y) = -x^{2} + x y - y^{2} - 9 x + 3 y - 20 $$ на экстремумы выполним следующие шаги:

### 1. Найдём критические точки
Критические точки функции находятся из условий:
$$
f_x = 0 \quad \text{и} \quad f_y = 0
$$
где $$ f_x $$ и $$ f_y $$ — частные производные функции по $$ x $$ и $$ y $$ соответственно.

Вычислим частные производные:
$$
f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = -2x + y - 9
$$
$$
f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = x - 2y + 3
$$

Решим систему уравнений:
$$
\begin{cases}
-2x + y - 9 = 0 \
x - 2y + 3 = 0
\end{cases}
$$

Из второго уравнения выразим $$ x $$:
$$
x = 2y - 3
$$

Подставим это в первое уравнение:
$$
-2(2y - 3) + y - 9 = 0 \
-4y + 6 + y - 9 = 0 \
-3y - 3 = 0 \
-3y = 3 \
y = -1
$$

Теперь найдём $$ x $$:
$$
x = 2(-1) - 3 = -2 - 3 = -5
$$

Таким образом, критическая точка функции: $$ (-5, -1) $$.

### 2. Определим характер критической точки
Для этого используем второй производный критерий. Вычислим вторые частные производные:
$$
f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -2
$$
$$
f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -2
$$
$$
f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 1
$$

Вычислим дискриминант $$ D $$:
$$
D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^{2} = (-2)(-2) - (1)^{2} = 4 - 1 = 3
$$

Поскольку $$ D > 0 $$ и $$ f_{xx} < 0 $$, то критическая точка $$ (-5, -1) $$ является **локальным максимумом**.

### 3. Найдём значение функции в критической точке
$$
f(-5, -1) = -(-5)^{2} + (-5)(-1) - (-1)^{2} - 9(-5) + 3(-1) - 20 \
= -25 + 5 - 1 + 45 - 3 - 20 \
= (-25 + 5) + (-1 + 45) + (-3 - 20) \
= -20 + 44 - 23 \
= 1
$$

### **Вывод**
Функция $$ f(x, y) = -x^{2} + x y - y^{2} - 9 x + 3 y - 20 $$ имеет единственную критическую точку $$ (-5, -1) $$, которая является локальным максимумом со значением $$ f(-5, -1) = 1 $$.
Функция $$ f(x, y) = -x^{2} + x y - y^{2} - 9 x + 3 y - 20 $$ имеет критическую точку $$ (-5, -1) $$, которая является локальным максимумом с значением $$ f(-5, -1) = 1 $$.

Исследовать на экстремум функцию

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Mind Expander

preguntas relacionadas

Latest Calculus Questions