Calcula el área entre las curvas \( y = x^3 - 3x \) y \( y = x + 1 \) sobre el intervalo definido por sus intersecciones.

Para calcular el área entre las curvas \( y = x^3 - 3x \) y \( y = x + 1 \), primero necesitamos encontrar los puntos de intersección de las curvas. Igualamos las ecuaciones: \[ x^3 - 3x = x + 1 \] Reorganizando, obtenemos: \[ x^3 - 4x - 1 = 0 \] Resolviendo esta ecuación, podemos encontrar las soluciones usando métodos numéricos o gráficos. Para este caso, vamos a verificar si hay soluciones racionales con el teorema del resto. Podemos encontrar que \( x = -1 \) es una raíz, y al factorear, encontramos que la cubica se puede expresar como: \[ (x + 1)(x^2 - x - 1) = 0 \] Resolviendo \( x^2 - x - 1 = 0 \) con la fórmula cuadrática, obtenemos: \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \] Así, los puntos de intersección son \( x = -1 \), \( x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \) y \( x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \). Sin embargo, el segundo valor es el único que está en el intervalo real relevante. Ahora, calculamos el área entre las curvas en el intervalo \( [-1, \frac{1+\sqrt{5}}{2}] \): \[ \text{Área} = \int_{-1}^{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} \left((x + 1) - (x^3 - 3x)\right) dx \] Simplificando la función a integrar: \[ \text{Área} = \int_{-1}^{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} (4x - x^3 + 1) dx \] Al calcular la integral, obtenemos: 1. \( \int 4x \, dx = 2x^2 \) 2. \( \int -x^3 \, dx = -\frac{x^4}{4} \) 3. \( \int 1 \, dx = x \) Evaluando: \[ \text{Área} = \left[ 2x^2 - \frac{x^4}{4} + x \right]_{-1}^{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} \] Al realizar las evaluaciones en los límites y restar, obtendremos el área exacta entre las curvas.