3.- \( e(t)=5+20 t^{2} \)

La función dada es: \[ e(t) = 5 + 20t^{2} \] ### Análisis de la Función 1. **Tipo de Función:** - **Función Cuadrática:** La función está compuesta por un término constante (5) y un término cuadrático (20\( t^{2} \)). Esto la clasifica como una función cuadrática, que tiene la forma general \( e(t) = at^{2} + bt + c \), donde en este caso \( a = 20 \), \( b = 0 \), y \( c = 5 \). 2. **Gráfica de la Función:** - **Parábola:** La gráfica de esta función es una parábola que se abre hacia arriba debido a que el coeficiente de \( t^{2} \) (20) es positivo. - **Vértice:** El vértice de la parábola se encuentra en el punto mínimo de la función. Dado que no hay término lineal (\( t \)), el vértice está en \( t = 0 \). Por lo tanto, el vértice es \( (0, 5) \). 3. **Comportamiento asintótico:** - A medida que \( t \) tiende a infinito positivo o negativo, el término \( 20t^{2} \) dominará sobre el término constante, haciendo que \( e(t) \) crezca sin límite en ambas direcciones. 4. **Derivada de la Función:** - La derivada de \( e(t) \) respecto a \( t \) es: \[ e'(t) = \frac{d}{dt}(5) + \frac{d}{dt}(20t^{2}) = 0 + 40t = 40t \] - **Interpretación:** La derivada representa la tasa de cambio de \( e(t) \) con respecto al tiempo \( t \). En este caso, la tasa de cambio es proporcional a \( t \). 5. **Integral de la Función:** - La integral indefinida de \( e(t) \) respecto a \( t \) es: \[ \int e(t) \, dt = \int (5 + 20t^{2}) \, dt = 5t + \frac{20}{3}t^{3} + C \] donde \( C \) es la constante de integración. ### Aplicaciones Potenciales Dependiendo del contexto, la función \( e(t) = 5 + 20t^{2} \) podría representar diferentes fenómenos, como: - **Movimiento:** Si \( e(t) \) representa una posición, la aceleración sería constante. - **Economía:** Podría modelar costos que aumentan cuadráticamente con alguna variable. - **Física:** Puede describir la energía potencial en función de una posición temporal. Si necesitas un análisis más específico o tienes una pregunta particular sobre esta función, por favor proporciona más detalles.