4. Dalam ruang vektor $$ R^{2} $$ diketahui dua buah vektor membentuk sudut $$ 45^{0} $$ yaitu vektor $$ m= $$ $$ (3,5,0) $$ dan vektor $$ n=(4,-1,4) $$. Periksalah apakah kedua vektor tersebut orthogonal atau tidak! Dalam ruang vektor $$ R^{3} $$ terdapat vektor $$ p=(2,2,2) $$ dan vektor $$ q=(-1,-1,-1) $$. Tentukan komponen vektor $$ p $$ yang sejajar terhadap vektor $$ q $$ !

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

### Pengecekan Orthogonalitas Dua Vektor di $$ \mathbb{R}^3 $$

Diketahui dua vektor dalam ruang $$ \mathbb{R}^3 $$:
- Vektor $$ \mathbf{m} = (3, 5, 0) $$
- Vektor $$ \mathbf{n} = (4, -1, 4) $$

**Orthogonalitas Vektor:**
Dua vektor dikatakan ortogonal jika hasil perkalian dot product mereka adalah nol, yaitu:
$$
\mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = 0
$$

**Perhitungan Dot Product:**
$$
\mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = (3)(4) + (5)(-1) + (0)(4) = 12 - 5 + 0 = 7
$$

Karena $$ \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = 7 \neq 0 $$, maka kedua vektor $$ \mathbf{m} $$ dan $$ \mathbf{n} $$ **tidak orthogonal**.

### Menentukan Komponen Vektor $$ \mathbf{p} $$ yang Sejajar terhadap Vektor $$ \mathbf{q} $$

Diketahui:
- Vektor $$ \mathbf{p} = (2, 2, 2) $$
- Vektor $$ \mathbf{q} = (-1, -1, -1) $$

**Komponen Sejajar (Projeksi) dari $$ \mathbf{p} $$ terhadap $$ \mathbf{q} $$:**
Rumus proyeksi vektor $$ \mathbf{p} $$ ke arah $$ \mathbf{q} $$ adalah:
$$
\text{Proj}_{\mathbf{q}} \mathbf{p} = \left( \frac{\mathbf{p} \cdot \mathbf{q}}{|\mathbf{q}|^2} \right) \mathbf{q}
$$

**Langkah-langkah Perhitungan:**

1. **Hitung Dot Product $$ \mathbf{p} \cdot \mathbf{q} $$:**
$$
\mathbf{p} \cdot \mathbf{q} = (2)(-1) + (2)(-1) + (2)(-1) = -2 - 2 - 2 = -6
$$

2. **Hitung Kuadrat Besar Vektor $$ \mathbf{q} $$ ($$ |\mathbf{q}|^2 $$):**
$$
|\mathbf{q}|^2 = (-1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2 = 1 + 1 + 1 = 3
$$

3. **Hitung Proyeksi:**
$$
\text{Proj}_{\mathbf{q}} \mathbf{p} = \left( \frac{-6}{3} \right) \mathbf{q} = -2 \times (-1, -1, -1) = (2, 2, 2)
$$

**Hasil:**
Komponen vektor $$ \mathbf{p} $$ yang sejajar terhadap vektor $$ \mathbf{q} $$ adalah $$ (2, 2, 2) $$.

**Catatan Tambahan:**
Hasil ini menunjukkan bahwa vektor $$ \mathbf{p} $$ sepenuhnya sejajar dengan vektor $$ \mathbf{q} $$, karena komponen sejajarnya sama dengan vektor $$ \mathbf{p} $$ itu sendiri.
Kedua vektor $$ \mathbf{m} $$ dan $$ \mathbf{n} $$ **tidak orthogonal** karena hasil dot product-nya tidak nol. Komponen vektor $$ \mathbf{p} $$ yang sejajar dengan vektor $$ \mathbf{q} $$ adalah $$ (2, 2, 2) $$.

Solución de tutoría real

Responder

Solución

Bonus Knowledge

preguntas relacionadas

Latest Other Questions