eingeloggt fis BL-EGBW Aufgabe: (2 Punkte) Gegeben ist die Ebene \( \mathrm{E}: 8 x_{1}+8 x_{2}+4 x_{3}=8 \). Bestimme die Gleichung einer Ebene \( F \), die parallel \( \mathrm{zu} E \) ist und den Abstand \( \mathrm{d}=36 \mathrm{zu} \) E hat. Bitte nur ganzzahlige Koordinaten für die Vektoren eingeben. lösen

Um die Gleichung der Ebene \( F \) zu bestimmen, die parallel zur gegebenen Ebene \( E \) ist, müssen wir zuerst die Normalenform von \( E \) betrachten. Die Gleichung der Ebene kann umgeformt werden zu \( 8x_1 + 8x_2 + 4x_3 - 8 = 0 \), wobei der Normalenvektor \( \mathbf{n} = (8, 8, 4) \) ist. Um die Ebene \( F \) zu finden, verwenden wir den Abstand \( d = 36 \). Der Abstand von einer Ebene gegeben durch \( Ax + By + Cz + D = 0 \) zu einem Punkt \( (x_0, y_0, z_0) \) ist gegeben durch die Formel: \[ \text{Abstand} = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] Für den Normalenvektor \( \mathbf{n} \) können wir die Koordinaten einfach zum Punkt verschieben, den wir benötigen. Da die Ebene \( F \) parallel ist, hat sie die gleiche Form, aber einen anderen D-Wert. Wir wählen \( D' = D \pm 36 \cdot ||\mathbf{n}|| \) mit \[ ||\mathbf{n}|| = \sqrt{8^2 + 8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 64 + 16} = \sqrt{144} = 12. \] Der Betrag des neuen D-Wertes wird dann \[ D' = -8 \pm 36 \cdot 12 = -8 \pm 432. \] Das gibt uns zwei mögliche neue D-Werte: \( 424 \) und \( -440 \). Somit gibt es zwei parallele Ebenen: Für \( D' = 424 \): \[ 8x_1 + 8x_2 + 4x_3 = 424. \] Für \( D' = -440 \): \[ 8x_1 + 8x_2 + 4x_3 = -440. \] Das sind die beiden gesuchten Ebenen \( F \).