Una piedra se deja caer en un lago, creando una onda circular que viaja hacia fuera a una velocidad de \( 60 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} \). (a) Exprese el radio \( r \) del círculo en función del tiempo \( t \) (en segundos). (b) Si \( A \) es el área de este círculo como una función del radio,

Para resolver el problema, sigamos los pasos indicados: ### (a) Expresión del radio \( r \) en función del tiempo \( t \) La velocidad de la onda circular es de \( 60 \, \text{cm/s} \). Esto significa que el radio \( r \) del círculo aumenta a una tasa constante de \( 60 \, \text{cm} \) por cada segundo que pasa. Podemos expresar el radio \( r \) en función del tiempo \( t \) de la siguiente manera: \[ r(t) = v \cdot t \] donde \( v \) es la velocidad de la onda. Sustituyendo el valor de \( v \): \[ r(t) = 60 \, \text{cm/s} \cdot t \] Por lo tanto, la expresión del radio en función del tiempo es: \[ r(t) = 60t \] ### (b) Área \( A \) del círculo como función del radio El área \( A \) de un círculo se calcula con la fórmula: \[ A = \pi r^2 \] Sustituyendo la expresión del radio \( r(t) \) en la fórmula del área: \[ A(t) = \pi (r(t))^2 = \pi (60t)^2 \] Calculamos \( (60t)^2 \): \[ (60t)^2 = 3600t^2 \] Por lo tanto, el área \( A \) en función del tiempo \( t \) es: \[ A(t) = \pi \cdot 3600t^2 = 3600\pi t^2 \] ### Resumen de las respuestas (a) \( r(t) = 60t \) (b) \( A(t) = 3600\pi t^2 \)