Pada suatu bidang datar terdapat 16 buah titik, dan tidak ada 3 titik yang segaris. Banyaknya segitiga yang dapat dibuat dari titik-titik tersebut adalah .... a. 287 b. 560 c. 686 d. 844 e. 1.111 No. 6 (Easy) Cerilah bilangar bulat positifterkecil sschisgar $$ 2 n+1 $$ habis diangi 7 dan In -2 babia dibagi 5.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Mari kita selesaikan kedua masalah yang diberikan satu per satu.

### Masalah 1: Banyaknya Segitiga dari Titik-Titik

Diberikan 16 titik di bidang datar dan tidak ada 3 titik yang segaris. Kita ingin menghitung banyaknya segitiga yang dapat dibentuk dari titik-titik tersebut.

Untuk membentuk segitiga, kita perlu memilih 3 titik dari 16 titik. Banyaknya cara untuk memilih 3 titik dari 16 dapat dihitung menggunakan rumus kombinasi:

$$
C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}
$$

Di mana $$ n $$ adalah jumlah total titik dan $$ r $$ adalah jumlah titik yang dipilih. Dalam hal ini, $$ n = 16 $$ dan $$ r = 3 $$.

Mari kita hitung:

$$
C(16, 3) = \frac{16!}{3!(16-3)!} = \frac{16!}{3! \cdot 13!}
$$

Kita bisa menyederhanakan perhitungan ini:

$$
C(16, 3) = \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1}
$$

Mari kita hitung nilai tersebut.

### Masalah 2: Bilangan Bulat Positif Terkecil

Diberikan persyaratan bahwa bilangan bulat positif $$ n $$ harus memenuhi dua kondisi:
1. $$ 2n + 1 $$ habis dibagi 7
2. $$ n - 2 $$ habis dibagi 5

Mari kita selesaikan kedua kondisi ini satu per satu.

1. Dari kondisi pertama, kita dapat menulis:
   $$
   2n + 1 \equiv 0 \mod 7
   $$
   Ini berarti:
   $$
   2n \equiv -1 \mod 7 \quad \text{atau} \quad 2n \equiv 6 \mod 7
   $$
   Dengan membagi kedua sisi dengan 2 (dalam modulo 7), kita mendapatkan:
   $$
   n \equiv 3 \mod 7
   $$

2. Dari kondisi kedua, kita dapat menulis:
   $$
   n - 2 \equiv 0 \mod 5
   $$
   Ini berarti:
   $$
   n \equiv 2 \mod 5
   $$

Sekarang kita memiliki dua kongruensi:
1. $$ n \equiv 3 \mod 7 $$
2. $$ n \equiv 2 \mod 5 $$

Mari kita selesaikan sistem kongruensi ini.

Saya akan menghitung hasil dari kedua masalah tersebut secara bersamaan.
Solve the equation by following steps:
- step0: Solve for $$C$$:
  $$C\times 16.3=\frac{16\times 15\times 14}{\left(3\times 2\times 1\right)}$$
- step1: Remove the parentheses:
  $$C\times 16.3=\frac{16\times 15\times 14}{3\times 2\times 1}$$
- step2: Reorder the terms:
  $$16.3C=560$$
- step3: Divide both sides:
  $$\frac{16.3C}{16.3}=\frac{560}{16.3}$$
- step4: Divide the numbers:
  $$C=\frac{5600}{163}$$
Solve the system of equations $$ n=7k+3;n=5m+2 $$.
Solve the system of equations by following steps:
- step0: Solve using the substitution method:
  $$\left\{ \begin{array}{l}n=7k+3\n=5m+2\end{array}\right.$$
- step1: Substitute the value of $$n:$$
  $$7k+3=5m+2$$
- step2: Move the constant to the right side:
  $$7k=5m+2-3$$
- step3: Subtract the numbers:
  $$7k=5m-1$$
- step4: Divide both sides:
  $$\frac{7k}{7}=\frac{5m-1}{7}$$
- step5: Divide the numbers:
  $$k=\frac{5m-1}{7}$$
- step6: Substitute the value of $$k:$$
  $$n=7\times \frac{5m-1}{7}+3$$
- step7: Simplify:
  $$n=5m+2$$
- step8: Calculate:
  $$\left(k,m,n\right) = \left(\frac{5m-1}{7},m,5m+2\right),m \in \mathbb{R}$$
- step9: Alternative Form:
  $$\textrm{Infinitely many solutions}$$
### Penyelesaian Masalah 1: Banyaknya Segitiga

Setelah menghitung, kita mendapatkan:

$$
C(16, 3) = \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1} = 560
$$

Jadi, banyaknya segitiga yang dapat dibentuk dari 16 titik tersebut adalah **560**. Pilihan yang benar adalah **b. 560**.

### Penyelesaian Masalah 2: Bilangan Bulat Positif Terkecil

Kita memiliki dua kongruensi:
1. $$ n \equiv 3 \mod 7 $$
2. $$ n \equiv 2 \mod 5 $$

Dari kongruensi pertama, kita dapat mengekspresikan $$ n $$ sebagai:
$$
n = 7k + 3
$$
Untuk beberapa bilangan bulat $$ k $$.

Kemudian kita substitusi ke dalam kongruensi kedua:
$$
7k + 3 \equiv 2 \mod 5
$$
Menyederhanakan ini:
$$
2k + 3 \equiv 2 \mod 5
$$
$$
2k \equiv -1 \mod 5 \quad \text{atau} \quad 2k \equiv 4 \mod 5
$$
Membagi kedua sisi dengan 2 (dalam modulo 5), kita mendapatkan:
$$
k \equiv 2 \mod 5
$$
Ini berarti:
$$
k = 5m + 2
$$
Untuk beberapa bilangan bulat $$ m $$.

Substitusi kembali ke dalam ekspresi $$ n $$:
$$
n = 7(5m + 2) + 3 = 35m + 14 + 3 = 35m + 17
$$

Jadi, $$ n $$ dapat ditulis sebagai:
$$
n = 35m + 17
$$

Bilangan bulat positif terkecil terjadi ketika $$ m = 0 $$:
$$
n = 17
$$

Jadi, bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi kedua kondisi adalah **17**.
Banyaknya segitiga yang dapat dibentuk dari 16 titik adalah 560. Bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi kedua kondisi adalah 17.

Solución de tutoría real

Responder

Solución

Beyond the Answer

preguntas relacionadas

Latest Geometry Questions