(4.) Considere a função $$ f $$, definida em $$ ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[ $$ por $$ f(x)=-3 an x-2 \cos x $$ Sabe-se que $$ \cos \left(-\frac{3 \pi}{2}-\alpha ight)=-\frac{3}{5} $$. 4.1 Determine, sem recorrer à calculadora, o valor de $$ f(\alpha) $$. 4.2 Mostre que $$ f(x)=\frac{2 \sin ^{2} x-3 \sin x-2}{\cos x} $$. 4.3 Resolva a equação $$ f(x)=0 $$.

Question

(4.) Considere a função $$ f $$, definida em $$ ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[ $$ por $$ f(x)=-3 	an x-2 \cos x $$ Sabe-se que $$ \cos \left(-\frac{3 \pi}{2}-\alphaight)=-\frac{3}{5} $$. 4.1 Determine, sem recorrer à calculadora, o valor de $$ f(\alpha) $$. 4.2 Mostre que $$ f(x)=\frac{2 \sin ^{2} x-3 \sin x-2}{\cos x} $$. 4.3 Resolva a equação $$ f(x)=0 $$.

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Vamos resolver cada uma das partes do problema de forma detalhada.

### 4.1 Determinar, sem recorrer à calculadora, o valor de $$ f(\alpha) $$.

Dada a função:
$$
f(x) = -3 \tan x - 2 \cos x
$$
E a informação:
$$
\cos\left(-\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\frac{3}{5}
$$

**Passos:**

1. **Simplificar o argumento do cosseno:**
   $$
   \cos\left(-\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)
   $$
   Isso porque $$\cos(-\theta) = \cos(\theta)$$.

2. **Expressar $$\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)$$:**
   $$
   \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin(\alpha)
   $$
   (Usando a identidade trigonométrica $$\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin(\alpha)$$).

3. **Determinar $$\sin(\alpha)$$:**
   $$
   \sin(\alpha) = -\frac{3}{5}
   $$

4. **Calcular $$\cos(\alpha)$$:**
   $$
   \cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} = \sqrt{1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}
   $$

5. **Calcular $$\tan(\alpha)$$:**
   $$
   \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{-\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}
   $$

6. **Substituir na função $$ f(\alpha) $$:**
   $$
   f(\alpha) = -3 \tan(\alpha) - 2 \cos(\alpha) = -3 \left(-\frac{3}{4}\right) - 2 \left(\frac{4}{5}\right) = \frac{9}{4} - \frac{8}{5}
   $$

7. **Calcular a diferença:**
   $$
   f(\alpha) = \frac{45}{20} - \frac{32}{20} = \frac{13}{20}
   $$

**Resposta:**
$$
f(\alpha) = \frac{13}{20}
$$

### 4.2 Mostrar que $$ f(x) = \frac{2 \sin^{2}x - 3 \sin x - 2}{\cos x} $$.

**Passos:**

1. **Expressar $$ f(x) $$ em termos de funções seno e cosseno:**
   $$
   f(x) = -3 \tan x - 2 \cos x = -3 \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) - 2 \cos x = \frac{-3 \sin x - 2 \cos^{2}x}{\cos x}
   $$

2. **Utilizar a identidade trigonométrica $$ \cos^{2}x = 1 - \sin^{2}x $$:**
   $$
   -3 \sin x - 2 \cos^{2}x = -3 \sin x - 2 (1 - \sin^{2}x) = -3 \sin x - 2 + 2 \sin^{2}x
   $$

3. **Reorganizar os termos:**
   $$
   -3 \sin x - 2 + 2 \sin^{2}x = 2 \sin^{2}x - 3 \sin x - 2
   $$

4. **Substituir de volta na expressão de $$ f(x) $$:**
   $$
   f(x) = \frac{2 \sin^{2}x - 3 \sin x - 2}{\cos x}
   $$

**Resposta:**
$$
f(x) = \frac{2 \sin^{2}x - 3 \sin x - 2}{\cos x}
$$

### 4.3 Resolver a equação $$ f(x) = 0 $$.

Dada a equação:
$$
f(x) = \frac{2 \sin^{2}x - 3 \sin x - 2}{\cos x} = 0
$$
Como $$\cos x \neq 0$$ no intervalo $$ \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[ $$, podemos multiplicar ambos os lados por $$\cos x$$:
$$
2 \sin^{2}x - 3 \sin x - 2 = 0
$$

**Passos:**

1. **Substituir $$ y = \sin x $$:**
   $$
   2 y^{2} - 3 y - 2 = 0
   $$

2. **Resolver a equação quadrática:**
   $$
   \Delta = (-3)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25
   $$
   $$
   y = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{3 \pm 5}{4}
   $$
   $$
   y_{1} = \frac{8}{4} = 2 \quad (\text{Não é possível, pois } |\sin x| \leq 1)
   $$
   $$
   y_{2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}
   $$

3. **Determinar $$ x $$ tal que $$ \sin x = -\frac{1}{2} $$ no intervalo $$ \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[ $$:**
   $$
   x = -\frac{\pi}{6}
   $$

**Resposta:**
$$
x = -\frac{\pi}{6}
$$
4.1 $$ f(\alpha) = \frac{13}{20} $$ 4.2 $$ f(x) = \frac{2 \sin^{2}x - 3 \sin x - 2}{\cos x} $$ 4.3 $$ x = -\frac{\pi}{6} $$

(4.) Considere a função , definida em por
Sabe-se que .
4.1 Determine, sem recorrer à calculadora, o valor de .
4.2 Mostre que .
4.3 Resolva a equação .

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Solución

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4.1 Determinação de

4.2 Mostrando que

4.3 Resolvendo a equação

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