In un triangolo rettangolo ABC retto in C, ia somma dei cateti misura 42 cm e uno di essi a \( 3 / 4 \) dell'altro. Con centro nel vertice C si traccia un arco di circonferenza avente il rag- gio uguale a \( 2 / 5 \) dellipotenusa del triangolo. Calcola il contorno el'area della parte colora- ta della figura.

Per risolvere il problema, iniziamo a chiamare i cateti del triangolo rettangolo \( a \) e \( b \). Dato che uno dei cateti è \( \frac{3}{4} \) dell'altro, possiamo scrivere \( a = \frac{3}{4}b \). La somma dei cateti è: \[ a + b = 42 \] Sostituendo \( a \): \[ \frac{3}{4}b + b = 42 \] Questo diventa: \[ \frac{7}{4}b = 42 \] Risolvendo per \( b \): \[ b = 42 \cdot \frac{4}{7} = 24 \] E ora calcoliamo \( a \): \[ a = \frac{3}{4} \cdot 24 = 18 \] Ora possiamo trovare l'ipotenusa \( c \) con il teorema di Pitagora: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30 \, \text{cm} \] Il raggio dell'arco è \( r = \frac{2}{5} \cdot c \): \[ r = \frac{2}{5} \cdot 30 = 12 \, \text{cm} \] Il contorno dell'area colorata consiste della somma della circonferenza e dell'area del triangolo. La circonferenza dell'arco è: \[ C = 2\pi \cdot r = 24\pi \, \text{cm} \] L'area \( A \) del triangolo è: \[ A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 24 = 216 \, \text{cm}^2 \] Perciò, il contorno totale è: \[ C + A = 24\pi + 216 \] Quindi, il contorno e l'area della parte colorata della figura sono \( 24\pi + 216 \). --- La geometria euclidea, che tratta le proprietà e le relazioni delle figure piane e solide, prende spunto dai lavori di Euclide, un matematico greco del III secolo a.C. I suoi famosi "Elementi" hanno influenzato la geometria per secoli e sono ancora insegnati oggi, rimarcando quanto la matematica sia una disciplina con radici storiche profonde. Sapevi che i triangoli rettangoli sono utilizzati in molti aspetti della vita quotidiana? Dal design architettonico all'ingegneria, i principi del teorema di Pitagora ci aiutano a costruire strutture sicure e proporzionate. Inoltre, ogni volta che usiamo una scala, i triangoli rettangoli sono là per aiutarci a calcolare altezze e distanze sicure.