6.- Que sucede con la aceleración si $$ d(t) $$ se triplica, $$ \quad t $$ disminuye a la quinta parte $$ y v(i) $$ es constante

Question

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Sea el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado descrito por

$$
d(t)=v_i\,t+\frac{1}{2}a\,t^2,
$$

donde $$v_i$$ es la velocidad inicial y $$a$$ la aceleración. Se nos indica que en la nueva situación se triplica la distancia, el tiempo se reduce a la quinta parte y $$v_i$$ se mantiene constante. Denotamos la distancia y el tiempo originales por $$d$$ y $$t$$ respectivamente, y en la nueva situación tenemos

$$
d_{\text{nuevo}}=3d\quad\text{y}\quad t_{\text{nuevo}}=\frac{t}{5}.
$$

La ecuación para la nueva situación es

$$
3d = v_i\left(\frac{t}{5}\right)+\frac{1}{2}a_{\text{nuevo}}\left(\frac{t}{5}\right)^2.
$$

Paso 1. Escribimos la ecuación completa:

$$
3d = \frac{v_i\,t}{5}+\frac{1}{2}a_{\text{nuevo}}\frac{t^2}{25}.
$$

Paso 2. Multiplicamos ambos lados de la ecuación por 25 para eliminar los denominadores:

$$
75d = 5\,v_i\,t+\frac{1}{2}a_{\text{nuevo}}t^2.
$$

Paso 3. Despejamos $$a_{\text{nuevo}}$$. Para ello, restamos $$5v_i t$$ a ambos lados:

$$
\frac{1}{2}a_{\text{nuevo}}\,t^2 = 75d-5v_i\,t.
$$

Ahora, multiplicamos por 2:

$$
a_{\text{nuevo}}\,t^2 = 150d-10v_i\,t,
$$

y por último, dividimos entre $$t^2$$:

$$
a_{\text{nuevo}} = \frac{150d-10v_i\,t}{t^2}.
$$

Paso 4. Relacionamos con la aceleración original. La ecuación original es

$$
d = v_i\,t+\frac{1}{2}a\,t^2.
$$

Despejamos $$a$$:

$$
\frac{1}{2}a\,t^2 = d - v_i\,t\quad \Longrightarrow \quad a = \frac{2\left(d-v_i\,t\right)}{t^2}.
$$

Para comparar, escribimos el cociente de aceleraciones:

$$
\frac{a_{\text{nuevo}}}{a}=\frac{\frac{150d-10v_i\,t}{t^2}}{\frac{2\left(d-v_i\,t\right)}{t^2}}=\frac{150d-10v_i\,t}{2\left(d-v_i\,t\right)}.
$$

Simplificando, factoricemos el numerador:

$$
150d-10v_i\,t=10\Bigl(15d-v_i\,t\Bigr),
$$

por lo que

$$
\frac{a_{\text{nuevo}}}{a}=\frac{10\left(15d-v_i\,t\right)}{2\left(d-v_i\,t\right)}=\frac{5\left(15d-v_i\,t\right)}{\left(d-v_i\,t\right)}.
$$

Esta expresión general muestra en función de $$d$$ y $$v_i\,t$$ el factor de cambio en la aceleración.

Caso especial: Si se parte de reposo ($$v_i=0$$), tenemos

$$
\frac{a_{\text{nuevo}}}{a}=\frac{5\left(15d-0\right)}{d-0}=\frac{75d}{d}=75.
$$

Esto significa que, en ausencia de velocidad inicial, la nueva aceleración es 75 veces la aceleración original.

Conclusión:

\- La aceleración en la nueva situación estará dada por

$$
a_{\text{nuevo}}=\frac{150d-10v_i\,t}{t^2}.
$$

\- En forma de factor respecto a la inicial

$$
\frac{a_{\text{nuevo}}}{a}=\frac{5\left(15d-v_i\,t\right)}{d-v_i\,t}.
$$

\- En el caso particular en que $$v_i=0$$, se tiene que

$$
a_{\text{nuevo}}=75\,a.
$$
La aceleración en la nueva situación es 75 veces la aceleración original cuando la velocidad inicial es cero.

6.- Que sucede con la aceleración si
se triplica, disminuye a la quinta parte es constante

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