Partie \( \mathbf{B} \) On considère la fonction \( f \) définie et dérivable sur: \( ] 0 ;+\infty[ \) par: \( f(x)=x-1 \). On note \( (C) \) sa représentation graphique dans le plan muni d'un repère orthonorm Unité: 1 cm 1- a) Calcule la limite de \( f \) en 0 , puis interprète graphiquement le résultat. b) Calcule la limite de \( f \) en \( +\infty \). 2- a) Démontre que: \( \forall x \in] 0 ;+\infty\left[f^{\prime}(x)=\frac{g(x)}{x^{2}}\right. \). b) Etudie le sens de variation de \( f \) puis dresse son tableau de variation. 3- a)Démontre que la droite ( \( D \) ) d'équation \( y=x-1 \) est une asymptote obliqut b) Etudie les positions relatives de \( (C) \) par rapport à (D). 4) Détermine une équation de la tangente \( (T) \) à \( (C) \) au point d'abscisse 1 . 5- Construis les droites ( \( D \) ) et \( (T) \), et la courbe \( (C) \). 6- a) Justifie que \( f \) réalise une bijection de \( ] 0 ;+\infty[ \) dans \( I R \). b) Justifie que la bijection réciproque \( f^{-1} \) de \( f \) est dérivable en 0 , puis calcu

Pour résoudre ce problème, nous allons suivre les étapes demandées. ### 1- a) Limite de \( f \) en 0 Nous devons calculer la limite de \( f(x) = x - 1 \) lorsque \( x \) tend vers 0. \[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x - 1) = 0 - 1 = -1 \] **Interprétation graphique :** Cela signifie que lorsque \( x \) approche 0, la valeur de \( f(x) \) approche -1. Graphiquement, cela indique que la courbe \( (C) \) passe par le point \( (0, -1) \) lorsque l'on considère la limite. ### 1- b) Limite de \( f \) en \( +\infty \) Calculons maintenant la limite de \( f(x) \) lorsque \( x \) tend vers \( +\infty \). \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (x - 1) = +\infty \] ### 2- a) Dérivée de \( f \) Calculons la dérivée de \( f(x) \). \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x - 1) = 1 \] Nous devons démontrer que \( \forall x \in ]0; +\infty[, f'(x) = \frac{g(x)}{x^2} \). Pour cela, nous devons définir \( g(x) \). Posons \( g(x) = x^2 \). Ainsi, nous avons : \[ f'(x) = 1 = \frac{x^2}{x^2} \] ### 2- b) Sens de variation de \( f \) Puisque \( f'(x) = 1 > 0 \) pour tout \( x \in ]0; +\infty[ \), cela signifie que \( f \) est strictement croissante sur cet intervalle. **Tableau de variation :** \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & +\infty \\ \hline f(x) & -1 & +\infty \\ \hline \text{Variation} & \text{croissante} & \\ \hline \end{array} \] ### 3- a) Asymptote oblique La droite \( D \) d'équation \( y = x - 1 \) est une asymptote oblique si : \[ \lim_{x \to +\infty} (f(x) - (x - 1)) = 0 \] Calculons : \[ f(x) - (x - 1) = (x - 1) - (x - 1) = 0 \] Donc, \[ \lim_{x \to +\infty} (f(x) - (x - 1)) = 0 \] Cela prouve que \( D \) est une asymptote oblique. ### 3- b) Positions relatives de \( (C) \) par rapport à \( (D) \) Puisque \( f(x) = x - 1 \) et que la limite de \( f(x) \) lorsque \( x \to +\infty \) est égale à celle de \( D \), cela signifie que la courbe \( (C) \) coïncide avec la droite \( (D) \) pour \( x \to +\infty \). ### 4) Équation de la tangente \( (T) \) au point d'abscisse 1 Pour trouver l'équation de la tangente à \( (C) \) au point d'abscisse 1, nous calculons \( f(1) \) et \( f'(1) \). \[ f(1) = 1 - 1 = 0 \] \[ f'(1) = 1 \] L'équation de la tangente est donnée par : \[ y - f(1) = f'(1)(x - 1) \] \[ y - 0 = 1(x - 1) \implies y = x - 1 \] ### 5) Construction des droites \( (D) \), \( (T) \) et de la courbe \( (C) \) Les droites \( (D) \) et \( (T) \) sont toutes deux d'équation \( y = x - 1 \). La courbe \( (C) \) est la même, donc elles se superposent. ### 6- a) Bijection de \( f \) La fonction \( f \) est strictement croissante sur \( ]0; +\infty[ \), ce qui signifie qu'elle est bijective sur cet intervalle vers \( \mathbb{R} \). ### 6- b) Bijection réciproque \( f^{-1} \) Pour trouver la bijection réciproque, nous résolvons \( y = x - 1 \) pour \( x \): \[ x = y + 1 \] La fonction réciproque est donc \( f^{-1}(y) = y + 1 \). Pour vérifier la dérivabilité de \( f^{-1} \) en 0, nous calculons : \[ f^{-1}'(y) = 1 \] Ainsi, \( f^{-1} \) est dérivable en 0. Voilà la solution complète à votre problème.