2. La siguiente gráfica representa a la función $$ f(x)=\frac{1}{x+5} $$. Determina su rango y dominio.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para determinar el dominio y el rango de la función $$ f(x)=\frac{1}{x+5} $$, primero analicemos cada concepto:

### Dominio
El dominio de una función es el conjunto de todos los valores de $$ x $$ para los que la función está definida. En el caso de la función $$ f(x)=\frac{1}{x+5} $$, hay un valor de $$ x $$ que hace que el denominador sea cero, lo cual no está permitido en una función real. Ese valor es $$ x = -5 $$.

Por lo tanto, el dominio de $$ f(x) $$ es todo el conjunto de números reales excepto $$ x = -5 $$. Se puede expresar como:
$$ \text{Dominio} = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq -5 \} $$

### Rango
El rango de una función es el conjunto de todos los valores de $$ f(x) $$ que la función puede tomar. Para la función $$ f(x)=\frac{1}{x+5} $$, podemos ver que:

1. **Límite cuando $$ x $$ se acerca a $$ -5 $$**: 
   $$ \lim_{x \to -5} f(x) = \lim_{x \to -5} \frac{1}{x+5} = \infty $$
   Esto significa que cuando $$ x $$ se acerca a $$ -5 $$, el valor de $$ f(x) $$ se hace infinitamente grande.

2. **Límite cuando $$ x $$ se hace infinitamente grande**:
   $$ \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x+5} = 0 $$
   Esto significa que cuando $$ x $$ se hace infinitamente grande, el valor de $$ f(x) $$ se acerca a cero.

3. **Límite cuando $$ x $$ se hace infinitamente pequeño (negativo)**:
   $$ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x+5} = 0 $$
   Esto significa que cuando $$ x $$ se hace infinitamente pequeño (negativo), el valor de $$ f(x) $$ también se acerca a cero.

Dado que $$ f(x) $$ puede tomar cualquier valor entre 0 y $$ \infty $$ (pero no 0), el rango de $$ f(x) $$ es:
$$ \text{Rango} = \{ y \in \mathbb{R} \mid 0 < y < \infty \} $$

### Resumen
- **Dominio**: $$ \{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq -5 \} $$
- **Rango**: $$ \{ y \in \mathbb{R} \mid 0 < y < \infty \} $$
Dominio: $$ x \neq -5 $$ Rango: $$ 0 < y < \infty $$

La siguiente gráfica representa a la función . Determina su
rango y dominio.

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