Sul diametro di una semicirconferenza, con-
sidera un punto e traccia per esso la retta perpendi-
colare ad , indicando con il suo punto d’interse-
zione con la semicirconferenza. Considera poi un punto sull’arco e indica con il punto in cui la corda
incontra il segmento . Dimostra che il quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza. Qual è il cen-
tro della circonferenza circoscritta?
Il quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza, e il suo centro è il punto medio del segmento e del segmento .
Solución
Per dimostrare che il quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza, dobbiamo dimostrare che gli angoli opposti del quadrilatero sono supplementari.
Passo 1: Definizione dei punti e delle posizioni
Sia il centro della semicirconferenza.
Sia il raggio della semicirconferenza.
I punti e sono agli estremi del diametro, quindi è il punto medio di .
Il punto è un punto qualsiasi sul diametro .
La retta perpendicolare a in interseca la semicirconferenza nel punto .
Il punto è un punto sull’arco .
La corda interseca il segmento nel punto .
Passo 2: Analisi degli angoli
Dobbiamo dimostrare che gli angoli e sono supplementari, e che gli angoli e sono anch’essi supplementari.
Angolo :
Poiché è un punto sulla semicirconferenza, l’angolo è un angolo inscritto che sottende l’arco .
Angolo :
Il punto si trova sulla corda e sul segmento . Quindi, l’angolo è un angolo che sottende lo stesso arco .
Poiché gli angoli e sottendono lo stesso arco , abbiamo:
Angolo :
L’angolo è un angolo esterno al triangolo e può essere espresso come la somma degli angoli interni e .
Angolo :
L’angolo è un angolo inscritto che sottende l’arco .
Passo 3: Supplementarietà degli angoli
Ora, poiché e , possiamo concludere che gli angoli opposti del quadrilatero sono supplementari.
Passo 4: Centro della circonferenza circoscritta
Il centro della circonferenza circoscritta al quadrilatero è il punto medio del segmento e il punto medio del segmento . Questo punto è equidistante dai vertici del quadrilatero, il che conferma che il quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza.
Conclusione
Abbiamo dimostrato che il quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza, e il centro della circonferenza circoscritta è il punto medio del segmento e del segmento .
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Beyond the Answer
Il quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza se e solo se gli angoli opposti sono supplementari. In questo caso, puoi considerare gli angoli e . Poiché è un punto su una retta perpendicolare a , gli angoli e sono congruenti. Inoltre, l’angolo è insito in un arco della semicirconferenza, il che implica che è anche uguale all’angolo . Pertanto, la somma degli angoli opposti è , soddisfacendo le condizioni per l’inscrizione del quadrilatero in una circonferenza.
Il centro della circonferenza circoscritta è il punto medio del segmento che unisce i punti e . Infatti, essendo sulla normale alla semicirconferenza, le distanze dai punti e al centro circoscritto sono uguali, ossia formano un triangolo isoscele con . Questo punto, quindi, è equidistante dai vertici del quadrilatero, rendendolo il centro perfetto della circonferenza circoscritta.