Sul diametro \( A B \) di una semicirconferenza, con- sidera un punto \( P \) e traccia per esso la retta perpendi- colare ad \( A B \), indicando con \( Q \) il suo punto d'interse- zione con la semicirconferenza. Considera poi un punto \( C \) sull'arco \( \overline{A Q} \) e indica con \( D \) il punto in cui la corda \( B C \) incontra il segmento \( P Q \). Dimostra che il quadrilatero \( A P D C \) è inscrivibile in una circonferenza. Qual è il cen- tro della circonferenza circoscritta?

Per dimostrare che il quadrilatero \( A P D C \) è inscrivibile in una circonferenza, dobbiamo dimostrare che gli angoli opposti del quadrilatero sono supplementari. ### Passo 1: Definizione dei punti e delle posizioni - Sia \( O \) il centro della semicirconferenza. - Sia \( R \) il raggio della semicirconferenza. - I punti \( A \) e \( B \) sono agli estremi del diametro, quindi \( O \) è il punto medio di \( A B \). - Il punto \( P \) è un punto qualsiasi sul diametro \( A B \). - La retta perpendicolare a \( A B \) in \( P \) interseca la semicirconferenza nel punto \( Q \). - Il punto \( C \) è un punto sull'arco \( \overline{A Q} \). - La corda \( B C \) interseca il segmento \( P Q \) nel punto \( D \). ### Passo 2: Analisi degli angoli Dobbiamo dimostrare che gli angoli \( \angle APD \) e \( \angle ACD \) sono supplementari, e che gli angoli \( \angle PDC \) e \( \angle AQC \) sono anch'essi supplementari. 1. **Angolo \( \angle AQC \)**: - Poiché \( Q \) è un punto sulla semicirconferenza, l'angolo \( \angle AQC \) è un angolo inscritto che sottende l'arco \( \overline{AC} \). 2. **Angolo \( \angle PDC \)**: - Il punto \( D \) si trova sulla corda \( BC \) e sul segmento \( PQ \). Quindi, l'angolo \( \angle PDC \) è un angolo che sottende lo stesso arco \( \overline{AC} \). Poiché gli angoli \( \angle AQC \) e \( \angle PDC \) sottendono lo stesso arco \( \overline{AC} \), abbiamo: \[ \angle AQC = \angle PDC \] 3. **Angolo \( \angle APD \)**: - L'angolo \( \angle APD \) è un angolo esterno al triangolo \( APQ \) e può essere espresso come la somma degli angoli interni \( \angle AQP \) e \( \angle APQ \). 4. **Angolo \( \angle ACD \)**: - L'angolo \( \angle ACD \) è un angolo inscritto che sottende l'arco \( \overline{AD} \). ### Passo 3: Supplementarietà degli angoli Ora, poiché \( \angle AQC + \angle PDC = 180^\circ \) e \( \angle APD + \angle ACD = 180^\circ \), possiamo concludere che gli angoli opposti del quadrilatero \( A P D C \) sono supplementari. ### Passo 4: Centro della circonferenza circoscritta Il centro della circonferenza circoscritta al quadrilatero \( A P D C \) è il punto medio del segmento \( AC \) e il punto medio del segmento \( PD \). Questo punto è equidistante dai vertici del quadrilatero, il che conferma che il quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza. ### Conclusione Abbiamo dimostrato che il quadrilatero \( A P D C \) è inscrivibile in una circonferenza, e il centro della circonferenza circoscritta è il punto medio del segmento \( AC \) e del segmento \( PD \).