1 Berechnen Sie die Abstände der Punkte $$ A, B $$ und $$ C $$ von der Ebene $$ E $$. a) $$ E: 2 x_{1}-2 x_{2}+x_{3}=8 ; A(9|-3| 11), B(2|10| 6), C(4|2| 17,5) $$ b) $$ E: 2 x_{1}-10 x_{2}+11 x_{3}=0 ; A(9|-19| 22), B(5|1| 0), C(2|1| 21) $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Um die Abstände der Punkte $$ A $$, $$ B $$ und $$ C $$ von der Ebene $$ E $$ zu berechnen, verwenden wir die folgende Formel für den Abstand $$ d $$ eines Punktes $$ P(x_0, y_0, z_0) $$ von der Ebene $$ E: Ax + By + Cz + D = 0 $$:

$$
d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}
$$

### Teil a)

**Gegebene Ebene:**
$$
E: 2x_1 - 2x_2 + x_3 = 8 \quad \text{oder} \quad 2x - 2y + z - 8 = 0
$$
Hier sind die Koeffizienten:
$$
A = 2,\quad B = -2,\quad C = 1,\quad D = -8
$$
Der Nenner der Formel ist:
$$
\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3
$$

**Berechnung der Abstände:**

1. **Punkt $$ A(9, -3, 11) $$:**
$$
d_A = \frac{|2 \cdot 9 + (-2) \cdot (-3) + 1 \cdot 11 - 8|}{3} = \frac{|18 + 6 + 11 - 8|}{3} = \frac{|27|}{3} = 9
$$

2. **Punkt $$ B(2, 10, 6) $$:**
$$
d_B = \frac{|2 \cdot 2 + (-2) \cdot 10 + 1 \cdot 6 - 8|}{3} = \frac{|4 - 20 + 6 - 8|}{3} = \frac{|-18|}{3} = 6
$$

3. **Punkt $$ C(4, 2, 17.5) $$:**
$$
d_C = \frac{|2 \cdot 4 + (-2) \cdot 2 + 1 \cdot 17.5 - 8|}{3} = \frac{|8 - 4 + 17.5 - 8|}{3} = \frac{|13.5|}{3} = 4{,}5
$$

**Zusammenfassung für Teil a:**
$$
\begin{align*}
d_A &= 9 \
d_B &= 6 \
d_C &= 4{,}5
\end{align*}
$$

### Teil b)

**Gegebene Ebene:**
$$
E: 2x_1 - 10x_2 + 11x_3 = 0 \quad \text{oder} \quad 2x - 10y + 11z = 0
$$
Hier sind die Koeffizienten:
$$
A = 2,\quad B = -10,\quad C = 11,\quad D = 0
$$
Der Nenner der Formel ist:
$$
\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} = \sqrt{2^2 + (-10)^2 + 11^2} = \sqrt{4 + 100 + 121} = \sqrt{225} = 15
$$

**Berechnung der Abstände:**

1. **Punkt $$ A(9, -19, 22) $$:**
$$
d_A = \frac{|2 \cdot 9 + (-10) \cdot (-19) + 11 \cdot 22 + 0|}{15} = \frac{|18 + 190 + 242|}{15} = \frac{450}{15} = 30
$$

2. **Punkt $$ B(5, 1, 0) $$:**
$$
d_B = \frac{|2 \cdot 5 + (-10) \cdot 1 + 11 \cdot 0 + 0|}{15} = \frac{|10 - 10 + 0|}{15} = \frac{|0|}{15} = 0
$$
*Hinweis:* Punkt $$ B $$ liegt auf der Ebene $$ E $$, daher ist der Abstand $$ 0 $$.

3. **Punkt $$ C(2, 1, 21) $$:**
$$
d_C = \frac{|2 \cdot 2 + (-10) \cdot 1 + 11 \cdot 21 + 0|}{15} = \frac{|4 - 10 + 231|}{15} = \frac{225}{15} = 15
$$

**Zusammenfassung für Teil b:**
$$
\begin{align*}
d_A &= 30 \
d_B &= 0 \
d_C &= 15
\end{align*}
$$
Die Abstände der Punkte $$ A, B $$ und $$ C $$ von den Ebenen $$ E $$ sind wie folgt: **Teil a:** - $$ A(9, -3, 11) $$: 9 Einheiten - $$ B(2, 10, 6) $$: 6 Einheiten - $$ C(4, 2, 17.5) $$: 4,5 Einheiten **Teil b:** - $$ A(9, -19, 22) $$: 30 Einheiten - $$ B(5, 1, 0) $$: 0 Einheiten (Punkt liegt auf der Ebene) - $$ C(2, 1, 21) $$: 15 Einheiten

1 Berechnen Sie die Abstände der Punkte und von der Ebene .
a)
b)

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Abstände von den Punkten zur Ebene:

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