12 Sia un rettangolo. Siano e , rispettivamente, le proiezioni di e sulla diagonale del rettangolo.
Sapendo che e che , determina il perimetro e l’area del rettangolo.
Perimetro Ares
Per risolvere il problema, iniziamo a definire le coordinate dei punti del rettangolo :
Dove è la lunghezza della base e è l’altezza del rettangolo.
Passo 1: Trovare l’equazione della diagonale
La diagonale può essere descritta dall’equazione della retta che passa per i punti e . La pendenza della retta è data da:
L’equazione della retta in forma punto-pendenza è:
Passo 2: Trovare le proiezioni e
Proiezione di su (punto )
La proiezione di un punto su una retta può essere trovata usando la formula della proiezione. La distanza verticale da alla retta è:
Dove , , e per la retta . Per il punto :
Proiezione di su (punto )
Allo stesso modo, per il punto :
Passo 3: Calcolare la distanza
La distanza è data da:
Passo 4: Utilizzare le informazioni fornite
Sappiamo che :
Dividendo entrambi i lati per (assumendo ):
Elevando al quadrato entrambi i lati:
Moltiplicando per :
Semplificando:
Passo 5: Risolvere per e
Da e , sappiamo che:
Passo 6: Calcolare perimetro e area
Il perimetro del rettangolo è dato da:
L’area del rettangolo è:
Risultato finale
Il perimetro del rettangolo è e l’area è .
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Beyond the Answer
Per ottenere il perimetro e l’area del rettangolo , iniziamo a riconoscere la forma del rettangolo. Le proiezioni e su implicano che abbiamo importanti relazioni geometriche. Dall’informazione che , possiamo dedurre che la lunghezza della diagonale del rettangolo è essenziale per calcolare l’area.
Con e , possiamo stabilire che la distanza totale su è . La lunghezza della diagonale coincide con , mentre dai teoremi pitagorici si ha che . Qui inserendo le dimensioni del rettangolo, otteniamo:
Da questa relazione, possiamo impostare e per ottenere le dimensioni complete del rettangolo. Da qui possiamo calcolare il perimetro ed area .
In conclusione, il perimetro del rettangolo è e l’area è .