12 Sia $$ A B C D $$ un rettangolo. Siano $$ H $$ e $$ K $$, rispettivamente, le proiezioni di $$ B $$ e $$ D $$ sulla diagonale $$ A C $$ del rettangolo. Sapendo che $$ \overline{H K}=3 a $$ e che $$ \overline{A K}=\overline{C H}=a $$, determina il perimetro e l'area del rettangolo. Perimetro $$ =6 a, 5 $$ Ares

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Per risolvere il problema, iniziamo a definire le coordinate dei punti del rettangolo $$ ABCD $$:

- $$ A(0, 0) $$
- $$ B(a, 0) $$
- $$ C(a, b) $$
- $$ D(0, b) $$

Dove $$ a $$ è la lunghezza della base e $$ b $$ è l'altezza del rettangolo.

### Passo 1: Trovare l'equazione della diagonale $$ AC $$

La diagonale $$ AC $$ può essere descritta dall'equazione della retta che passa per i punti $$ A $$ e $$ C $$. La pendenza $$ m $$ della retta è data da:

$$
m = \frac{b - 0}{a - 0} = \frac{b}{a}
$$

L'equazione della retta in forma punto-pendenza è:

$$
y = mx = \frac{b}{a}x
$$

### Passo 2: Trovare le proiezioni $$ H $$ e $$ K $$

#### Proiezione di $$ B $$ su $$ AC $$ (punto $$ H $$)

La proiezione di un punto su una retta può essere trovata usando la formula della proiezione. La distanza verticale da $$ B $$ alla retta $$ AC $$ è:

$$
d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
$$

Dove $$ A = -\frac{b}{a} $$, $$ B = 1 $$, e $$ C = 0 $$ per la retta $$ y = \frac{b}{a}x $$. Per il punto $$ B(a, 0) $$:

$$
d_H = \frac{\left| -\frac{b}{a}a + 1 \cdot 0 + 0 \right|}{\sqrt{\left(-\frac{b}{a}\right)^2 + 1^2}} = \frac{| -b |}{\sqrt{\frac{b^2}{a^2} + 1}} = \frac{b}{\sqrt{\frac{b^2 + a^2}{a^2}}} = \frac{ab}{\sqrt{b^2 + a^2}}
$$

#### Proiezione di $$ D $$ su $$ AC $$ (punto $$ K $$)

Allo stesso modo, per il punto $$ D(0, b) $$:

$$
d_K = \frac{\left| -\frac{b}{a} \cdot 0 + 1 \cdot b + 0 \right|}{\sqrt{\left(-\frac{b}{a}\right)^2 + 1^2}} = \frac{b}{\sqrt{\frac{b^2}{a^2} + 1}} = \frac{ab}{\sqrt{b^2 + a^2}}
$$

### Passo 3: Calcolare la distanza $$ \overline{HK} $$

La distanza $$ \overline{HK} $$ è data da:

$$
\overline{HK} = d_H + d_K = \frac{ab}{\sqrt{b^2 + a^2}} + \frac{ab}{\sqrt{b^2 + a^2}} = \frac{2ab}{\sqrt{b^2 + a^2}}
$$

### Passo 4: Utilizzare le informazioni fornite

Sappiamo che $$ \overline{HK} = 3a $$:

$$
\frac{2ab}{\sqrt{b^2 + a^2}} = 3a
$$

Dividendo entrambi i lati per $$ a $$ (assumendo $$ a \neq 0 $$):

$$
\frac{2b}{\sqrt{b^2 + a^2}} = 3
$$

Elevando al quadrato entrambi i lati:

$$
\frac{4b^2}{b^2 + a^2} = 9
$$

Moltiplicando per $$ b^2 + a^2 $$:

$$
4b^2 = 9(b^2 + a^2)
$$

Semplificando:

$$
4b^2 = 9b^2 + 9a^2 \implies 5b^2 + 9a^2 = 0
$$

### Passo 5: Risolvere per $$ a $$ e $$ b $$

Da $$ \overline{AK} = a $$ e $$ \overline{CH} = a $$, sappiamo che:

$$
b = 3a
$$

### Passo 6: Calcolare perimetro e area

Il perimetro $$ P $$ del rettangolo è dato da:

$$
P = 2(a + b) = 2(a + 3a) = 8a
$$

L'area $$ A $$ del rettangolo è:

$$
A = a \cdot b = a \cdot 3a = 3a^2
$$

### Risultato finale

Il perimetro del rettangolo è $$ 8a $$ e l'area è $$ 3a^2 $$.
Il perimetro del rettangolo è $$8a$$ e l'area è $$3a^2$$.

12 Sia un rettangolo. Siano e , rispettivamente, le proiezioni di e sulla diagonale del rettangolo.
Sapendo che e che , determina il perimetro e l’area del rettangolo.
Perimetro Ares

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