4. Étudiez la convergence de la série dont les premiers termes sont les suivants : $$ \frac{1}{2}+\frac{7}{9}+\frac{13}{28}+\frac{19}{65}+\frac{25}{126}+\ldots $$

Question

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Pour étudier la convergence de la série donnée :

$$
\frac{1}{2} + \frac{7}{9} + \frac{13}{28} + \frac{19}{65} + \frac{25}{126} + \ldots
$$

**Étape 1 : Déterminer le terme général**

Observons les termes de la série :

- **Numérateur :** $$1, 7, 13, 19, 25, \ldots$$  
  Il s'agit d'une suite arithmétique de raison 6. Le terme général du numérateur est donc :
  $$
  a_k = 1 + 6(k - 1) = 6k - 5 \quad \text{pour } k \geq 1
  $$

- **Dénominateur :** $$2, 9, 28, 65, 126, \ldots$$  
  Observons les différences :
  $$
  9 - 2 = 7,\quad 28 - 9 = 19,\quad 65 - 28 = 37,\quad 126 - 65 = 61,\quad \ldots
  $$
  On remarque que les différences suivent une progression similaire à $$k^3 + 1$$. En vérifiant :
  $$
  d_k = k^3 + 1 \quad \text{pour } k \geq 1
  $$
  Par exemple :
  $$
  k = 1: \quad 1^3 + 1 = 2 \
  k = 2: \quad 2^3 + 1 = 9 \
  k = 3: \quad 3^3 + 1 = 28 \
  $$
  Ainsi, le terme général de la série est :
  $$
  u_k = \frac{6k - 5}{k^3 + 1}
  $$

**Étape 2 : Analyser la convergence**

Pour déterminer la convergence de la série $$\sum_{k=1}^\infty u_k$$, comparons $$u_k$$ avec une série connue.

Pour $$k$$ grand, le terme général $$u_k$$ se comporte comme :
$$
u_k = \frac{6k - 5}{k^3 + 1} \approx \frac{6k}{k^3} = \frac{6}{k^2}
$$
Cela suggère de comparer avec la série $$ \sum \frac{1}{k^2} $$, une série p-convergente avec $$ p = 2 > 1 $$.

**Utilisation du test de comparaison limite :**

Calculons la limite :
$$
\lim_{k \to \infty} \frac{u_k}{1/k^2} = \lim_{k \to \infty} \frac{(6k - 5)/ (k^3 + 1)}{1/k^2} = \lim_{k \to \infty} \frac{(6k - 5)k^2}{k^3 + 1} = \lim_{k \to \infty} \frac{6k^3 - 5k^2}{k^3 + 1} = 6
$$
La limite est une constante finie et non nulle, ce qui implique que les deux séries ont le même comportement de convergence.

**Conclusion :**

La série $$\sum_{k=1}^\infty \frac{6k - 5}{k^3 + 1}$$ converge par le test de comparaison limite avec la série $$ \sum \frac{1}{k^2} $$, qui est une série p-convergente.

**Réponse finale :**

La série converge absolument. En effet, la série est absolument convergente par comparaison avec ∑ 1⁄k².
La série converge absolument.

Étudiez la convergence de la série dont les premiers termes sont les
suivants :

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