Si $$ \begin{aligned} a \sqrt{b} & =32 ext { y } b \sqrt{a}=72 \ R & =\sqrt{a \sqrt{a}} \cdot \sqrt{b \sqrt{b}}\end{aligned} $$

Question

Si $$ \begin{aligned} a \sqrt{b} & =32 	ext { y } b \sqrt{a}=72 \ R & =\sqrt{a \sqrt{a}} \cdot \sqrt{b \sqrt{b}}\end{aligned} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Consideremos el sistema
$$
a\sqrt{b} = 32 \quad \text{y} \quad b\sqrt{a} = 72.
$$
Además, se nos define
$$
R = \sqrt{a\sqrt{a}} \cdot \sqrt{b\sqrt{b}}.
$$

**Paso 1. Expresar $$ R $$ en términos de potencias de $$ a $$ y $$ b $$.**

Observamos que
$$
\sqrt{a\sqrt{a}} = \sqrt{a \cdot a^{1/2}} = \sqrt{a^{3/2}} = a^{3/4},
$$
y de forma similar,
$$
\sqrt{b\sqrt{b}} = b^{3/4}.
$$
Por lo tanto,
$$
R = a^{3/4} \cdot b^{3/4} = (ab)^{3/4}.
$$

**Paso 2. Encontrar el valor de $$ ab $$ a partir del sistema dado.**

Multiplicamos las dos ecuaciones:
$$
(a\sqrt{b}) \cdot (b\sqrt{a}) = 32 \cdot 72.
$$
En el lado izquierdo reunimos los términos:
$$
a\sqrt{b} \cdot b\sqrt{a} = ab \cdot \sqrt{a}\sqrt{b} = ab \cdot \sqrt{ab} = (ab)^{3/2}.
$$
Por lo tanto,
$$
(ab)^{3/2} = 32 \cdot 72.
$$

Calculemos el producto:
$$
32 \cdot 72 = 2304.
$$
Así,
$$
(ab)^{3/2} = 2304.
$$

Para despejar $$ ab $$, elevamos ambos lados a la potencia $$ \frac{2}{3} $$:
$$
ab = 2304^{\frac{2}{3}}.
$$

**Paso 3. Evaluar $$ R $$.**

Hemos obtenido que
$$
R = (ab)^{3/4} = \left(2304^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{4}} = 2304^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}} = 2304^{\frac{1}{2}}.
$$
Es decir,
$$
R = \sqrt{2304}.
$$

**Paso 4. Calcular la raíz cuadrada de 2304.**

Descomponemos el número:
$$
2304 = 2^8 \cdot 3^2,
$$
por lo tanto,
$$
\sqrt{2304} = \sqrt{2^8 \cdot 3^2} = 2^4 \cdot 3 = 16 \cdot 3 = 48.
$$

**Conclusión:**

El valor de $$ R $$ es
$$
\boxed{48}.
$$
El valor de $$ R $$ es 48.

Si

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Mind Expander

preguntas relacionadas

Latest Algebra Questions