$$ \begin{array}{l} \int e^{-x} \cos (2 x) d x \ \int u v=u v-\int v d u \ u=\cos (2 x) \quad d u=e^{-x} d x \ d u=-2 \operatorname{sen}(2 x) d x \quad v=-e^{x} \ \cos (2 x)\left[-e^{x} ight]-\int-e^{x-2 \operatorname{sen}(2 x) d x} \ =-\operatorname{Cos}(2 x) e^{-x}-\left[-2 \int-\operatorname{Sen}(2 x) e^{-x} d x ight] \ \int-\operatorname{sen}(2 x) e^{-x} d x \ u=-\operatorname{sen}(2 x) \quad d v=e^{-x} \ d u=2 \cos (2 x) \quad v=-e^{-x} \ =-\cos (2 x) e^{-x}+2\left[-\operatorname{sen}(2 x)-e^{-x}-\int-e^{-x} 2 \cos (2 x) d x ight] \ =-\operatorname{Cos}(2 x) e^{-x}+2\left[\operatorname{Sen}(2 x) e^{-x}-2 \int-\cos (2 x) e^{-x} d x ight] \ =-\cos (2 x) e^{-x}+2 \operatorname{sen}(2 x) e^{-x}-4 \int-\cos (2 x) e^{-x} d x \ -5 \int e^{-x} \cos (2 x) d x=-\cos (2 x) e^{-x}+2 \operatorname{sen}(2 x) e^{-x}+c \ =-\frac{1}{5} e^{-x}[-\cos (2 x)+2 \operatorname{sen}(2 x)]+C \end{array} $$

Question

$$ \begin{array}{l} \int e^{-x} \cos (2 x) d x \ \int u v=u v-\int v d u \ u=\cos (2 x) \quad d u=e^{-x} d x \ d u=-2 \operatorname{sen}(2 x) d x \quad v=-e^{x} \ \cos (2 x)\left[-e^{x}ight]-\int-e^{x-2 \operatorname{sen}(2 x) d x} \ =-\operatorname{Cos}(2 x) e^{-x}-\left[-2 \int-\operatorname{Sen}(2 x) e^{-x} d xight] \ \int-\operatorname{sen}(2 x) e^{-x} d x \ u=-\operatorname{sen}(2 x) \quad d v=e^{-x} \ d u=2 \cos (2 x) \quad v=-e^{-x} \ =-\cos (2 x) e^{-x}+2\left[-\operatorname{sen}(2 x)-e^{-x}-\int-e^{-x} 2 \cos (2 x) d xight] \ =-\operatorname{Cos}(2 x) e^{-x}+2\left[\operatorname{Sen}(2 x) e^{-x}-2 \int-\cos (2 x) e^{-x} d xight] \ =-\cos (2 x) e^{-x}+2 \operatorname{sen}(2 x) e^{-x}-4 \int-\cos (2 x) e^{-x} d x \ -5 \int e^{-x} \cos (2 x) d x=-\cos (2 x) e^{-x}+2 \operatorname{sen}(2 x) e^{-x}+c \ =-\frac{1}{5} e^{-x}[-\cos (2 x)+2 \operatorname{sen}(2 x)]+C \end{array} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Vamos a resolver la integral $$ \int e^{-x} \cos(2x) \, dx $$ utilizando el método de integración por partes.

### Paso 1: Definir $$ u $$ y $$ dv $$

Elegimos:
- $$ u = \cos(2x) $$ 
- $$ dv = e^{-x} \, dx $$

### Paso 2: Calcular $$ du $$ y $$ v $$

Calculamos $$ du $$ y $$ v $$:
- $$ du = -2 \sin(2x) \, dx $$
- $$ v = -e^{-x} $$

### Paso 3: Aplicar la fórmula de integración por partes

La fórmula de integración por partes es:
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$

Sustituyendo los valores que hemos definido:
$$
\int e^{-x} \cos(2x) \, dx = -e^{-x} \cos(2x) - \int -e^{-x} (-2 \sin(2x)) \, dx
$$
Esto se simplifica a:
$$
\int e^{-x} \cos(2x) \, dx = -e^{-x} \cos(2x) + 2 \int e^{-x} \sin(2x) \, dx
$$

### Paso 4: Resolver la nueva integral $$ \int e^{-x} \sin(2x) \, dx $$

Ahora, aplicamos nuevamente integración por partes a $$ \int e^{-x} \sin(2x) \, dx $$:
- Elegimos:
  - $$ u = \sin(2x) $$
  - $$ dv = e^{-x} \, dx $$

Calculamos $$ du $$ y $$ v $$:
- $$ du = 2 \cos(2x) \, dx $$
- $$ v = -e^{-x} $$

Aplicamos la fórmula de integración por partes:
$$
\int e^{-x} \sin(2x) \, dx = -e^{-x} \sin(2x) - \int -e^{-x} (2 \cos(2x)) \, dx
$$
Esto se simplifica a:
$$
\int e^{-x} \sin(2x) \, dx = -e^{-x} \sin(2x) + 2 \int e^{-x} \cos(2x) \, dx
$$

### Paso 5: Sustitución en la ecuación original

Sustituyendo la integral de $$ \int e^{-x} \sin(2x) \, dx $$ en la ecuación original:
$$
\int e^{-x} \cos(2x) \, dx = -e^{-x} \cos(2x) + 2 \left( -e^{-x} \sin(2x) + 2 \int e^{-x} \cos(2x) \, dx \right)
$$

### Paso 6: Reorganizar la ecuación

Reorganizamos la ecuación:
$$
\int e^{-x} \cos(2x) \, dx + 4 \int e^{-x} \cos(2x) \, dx = -e^{-x} \cos(2x) - 2 e^{-x} \sin(2x)
$$
$$
5 \int e^{-x} \cos(2x) \, dx = -e^{-x} \cos(2x) - 2 e^{-x} \sin(2x)
$$

### Paso 7: Despejar la integral

Despejamos la integral:
$$
\int e^{-x} \cos(2x) \, dx = -\frac{1}{5} e^{-x} \left( \cos(2x) + 2 \sin(2x) \right) + C
$$

### Respuesta Final

Por lo tanto, la solución de la integral es:
$$
\int e^{-x} \cos(2x) \, dx = -\frac{1}{5} e^{-x} \left( \cos(2x) + 2 \sin(2x) \right) + C
$$
La integral $$ \int e^{-x} \cos(2x) \, dx $$ se resuelve utilizando integración por partes y se obtiene la solución: $$ \int e^{-x} \cos(2x) \, dx = -\frac{1}{5} e^{-x} \left( \cos(2x) + 2 \sin(2x) \right) + C $$

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Paso 1: Definir y

Paso 2: Calcular y

Paso 3: Aplicar la fórmula de integración por partes

Paso 4: Resolver la nueva integral

Paso 5: Sustitución en la ecuación original

Paso 6: Reorganizar la ecuación

Paso 7: Despejar la integral

Respuesta Final

Beyond the Answer

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