$$ \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 4 n ^ { 2 } + n - 1 } { 8 m ^ { 2 } + n } $$

Question

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Para calcular o limite:

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{4n^2 + n - 1}{8m^2 + n}
$$

**Análise:**

1. **Grau dos Polinômios:**
   - **Numerador:** $$4n^2 + n - 1$$ é um polinômio de grau 2.
   - **Denominador:** $$8m^2 + n$$ é um polinômio de grau 1 (considerando $$m$$ como uma constante).

2. **Comportamento Assintótico:**
   - À medida que $$n$$ tende para o infinito, o termo dominante no numerador é $$4n^2$$.
   - No denominador, o termo dominante é $$n$$.

3. **Cálculo do Limite:**
   - O numerador cresce proporcionalmente a $$n^2$$.
   - O denominador cresce proporcionalmente a $$n$$.
   - Portanto, o quociente $$\frac{4n^2}{n} = 4n$$ tende para $$+\infty$$ conforme $$n$$ cresce sem limite.

**Conclusão:**

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{4n^2 + n - 1}{8m^2 + n} = +\infty
$$
O limite é infinito positivo. **Explicação Simplificada:** Quando $$n$$ se torna muito grande, o termo $$4n^2$$ no numerador cresce muito mais rápido do que o termo $$n$$ no denominador. Portanto, a fração $$\frac{4n^2 + n - 1}{8m^2 + n}$$ se torna cada vez maior, e o limite é infinito positivo.

\( \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 4 n ^ { 2 } + n - 1 } { 8 m ^ { 2 } + n } \)

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