Soit $$ a_{1}, a_{2}, a_{3} \ldots, a_{n} n $$ réels distincts rangés dans l'ordre strictement croissant et $$ f $$ la fonction donnée par: $$ f(x)=\frac{1}{x-a_{1}}+\frac{1}{x-a_{2}}+\cdots+\frac{1}{x-a_{n}} $$ 1. Donner l'ensemble de définition de $$ f $$ 2. a. Calculer la dérivée de $$ f $$ b. Dresser le tableau de variations de $$ f $$ 3. Soit $$ y \in \mathbb{R} $$. Combien de solutions l'équation $$ f(x)=y $$ possède-t-elle?

Question

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1. **Ensemble de définition de $$ f $$**

La fonction $$ f(x) $$ est définie pour tous les réels $$ x $$ sauf pour les valeurs $$ a_1, a_2, \ldots, a_n $$ où la fonction devient indéfinie (car on divise par $$ x - a_i $$). Ainsi, l'ensemble de définition de $$ f $$ est :

$$
D_f = \mathbb{R} \setminus \{ a_1, a_2, \ldots, a_n \}
$$

2. a. **Calcul de la dérivée de $$ f $$**

Pour calculer la dérivée de $$ f $$, nous utilisons la règle de dérivation des fonctions composées et la règle de la somme. La dérivée de $$ \frac{1}{x - a_i} $$ est :

$$
\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x - a_i} \right) = -\frac{1}{(x - a_i)^2}
$$

Ainsi, la dérivée de $$ f $$ est :

$$
f'(x) = -\frac{1}{(x - a_1)^2} - \frac{1}{(x - a_2)^2} - \cdots - \frac{1}{(x - a_n)^2}
$$

b. **Tableau de variations de $$ f $$**

La dérivée $$ f'(x) $$ est toujours négative pour $$ x $$ dans chaque intervalle $$ (-\infty, a_1) $$, $$ (a_1, a_2) $$, $$ (a_2, a_3) $$, ..., $$ (a_{n-1}, a_n) $$, et $$ (a_n, +\infty) $$. Cela signifie que $$ f $$ est décroissante sur chacun de ces intervalles.

Voici le tableau de variations de $$ f $$ :

$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & -\infty & a_1 & a_2 & a_3 & \ldots & a_n & +\infty \
\hline
f'(x) & + & 0 & - & - & \ldots & - & - \
\hline
f(x) & \searrow & \text{pôle} & \searrow & \searrow & \ldots & \searrow & + \
\hline
\end{array}
$$

3. **Solutions de l'équation $$ f(x) = y $$**

La fonction $$ f $$ est décroissante sur chaque intervalle défini par les $$ a_i $$. Par conséquent, pour chaque valeur $$ y $$ dans l'intervalle $$ (-\infty, f(a_1)) $$ et $$ (f(a_n), +\infty) $$, il existe une unique solution à l'équation $$ f(x) = y $$.

Dans les intervalles $$ (a_i, a_{i+1}) $$ pour $$ i = 1, 2, \ldots, n-1 $$, la fonction $$ f $$ décroît de $$ +\infty $$ à $$ -\infty $$ en passant par un pôle (où $$ f $$ est indéfini). Cela signifie qu'il y a également une unique solution dans chaque intervalle $$ (a_i, a_{i+1}) $$.

En résumé, l'équation $$ f(x) = y $$ possède :

- 1 solution pour $$ y < f(a_1) $$
- 1 solution pour chaque intervalle $$ (a_i, a_{i+1}) $$ pour $$ i = 1, 2, \ldots, n-1 $$
- 1 solution pour $$ y > f(a_n) $$

Donc, le nombre total de solutions est $$ n + 1 $$ si $$ y $$ est dans l'intervalle $$ (-\infty, f(a_1)) $$ ou $$ (f(a_n), +\infty) $$, et $$ n $$ si $$ y $$ est dans l'intervalle $$ (f(a_1), f(a_n)) $$.
1. L'ensemble de définition de $$ f $$ est $$ \mathbb{R} \setminus \{ a_1, a_2, \ldots, a_n \} $$. 2. a. La dérivée de $$ f $$ est $$ f'(x) = -\frac{1}{(x - a_1)^2} - \frac{1}{(x - a_2)^2} - \cdots - \frac{1}{(x - a_n)^2} $$. b. Le tableau de variations de $$ f $$ montre que $$ f $$ est décroissante sur chaque intervalle $$ (-\infty, a_i) $$ et $$ (a_i, +\infty) $$. 3. L'équation $$ f(x) = y $$ a $$ n + 1 $$ solutions si $$ y $$ est en dehors de l'intervalle $$ (f(a_1), f(a_n)) $$, et $$ n $$ solutions si $$ y $$ est dans cet intervalle.

Soit réels distincts rangés dans l’ordre strictement croissant et la fonction donnée par:

Donner l’ensemble de définition de

a. Calculer la dérivée de
b. Dresser le tableau de variations de

Soit . Combien de solutions l’équation possède-t-elle?

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