8. Se tienen dos recipientes llenos que con- tienen agua y vino. En el primero la relación es de 3 a 2 y en el segundo de 2 a 3 respectivamente. Se intercambian 5 litros y en el primero la relación cambia de 4 a 3 . Si la suma de las capacidades de ambos recipientes es 90 litros. Calcular cuál es la nueva relación en el segundo recipiente.

Question

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Para resolver el problema, sigamos estos pasos paso a paso:

1. **Definir las variables:**
   - Sea $$ x $$ la capacidad del primer recipiente.
   - Sea $$ y $$ la capacidad del segundo recipiente.
   
   Sabemos que:
   $$
   x + y = 90 \text{ litros}
   $$

2. **Contenido inicial de cada recipiente:**
   - **Primer recipiente:**
     - Agua: $$ \frac{3}{5}x $$ litros
     - Vino: $$ \frac{2}{5}x $$ litros
   - **Segundo recipiente:**
     - Agua: $$ \frac{2}{5}y $$ litros
     - Vino: $$ \frac{3}{5}y $$ litros

3. **Intercambio de 5 litros:**
   - **Desde el primer al segundo recipiente:**
     - Agua perdida: $$ \frac{3}{5} \times 5 = 3 $$ litros
     - Vino perdido: $$ \frac{2}{5} \times 5 = 2 $$ litros
   - **Desde el segundo al primer recipiente:**
     - Agua ganada: $$ \frac{2}{5} \times 5 = 2 $$ litros
     - Vino ganado: $$ \frac{3}{5} \times 5 = 3 $$ litros

4. **Contenido después del intercambio:**
   - **Primer recipiente:**
     - Agua: $$ \frac{3}{5}x - 3 + 2 = \frac{3}{5}x - 1 $$ litros
     - Vino: $$ \frac{2}{5}x - 2 + 3 = \frac{2}{5}x + 1 $$ litros
   - **Nuevo ratio en el primer recipiente:**
     $$
     \frac{\frac{3}{5}x - 1}{\frac{2}{5}x + 1} = \frac{4}{3}
     $$
     Resolviendo esta ecuación:
     $$
     3\left(\frac{3}{5}x - 1\right) = 4\left(\frac{2}{5}x + 1\right) \
     \frac{9}{5}x - 3 = \frac{8}{5}x + 4 \
     \frac{1}{5}x = 7 \
     x = 35 \text{ litros}
     $$
     Entonces, $$ y = 90 - 35 = 55 $$ litros.

5. **Calcular la nueva relación en el segundo recipiente:**
   - **Contenido inicial del segundo recipiente:**
     - Agua: $$ \frac{2}{5} \times 55 = 22 $$ litros
     - Vino: $$ \frac{3}{5} \times 55 = 33 $$ litros
   - **Después del intercambio:**
     - Agua: $$ 22 - 2 + 3 = 23 $$ litros
     - Vino: $$ 33 - 3 + 2 = 32 $$ litros
   - **Nueva relación:**
     $$
     23 : 32
     $$

**Respuesta Final:**
La nueva relación en el segundo recipiente es de 23 a 32.
La nueva relación en el segundo recipiente es de 23 a 32.

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