Tres amigos se ubican en una cancha de fútbol formando un triángulo, de tal manera
que entre Alberto y Betty hay 15 metros y entre Betty y Camilo hay 12 metros. Si el
ángulo formado en el vértice de Camilo es de . Halle los ángulos formados en los
vértices de Alberto y de Betty, y la distancia entre Camilo y Alberto.

Question

Tres amigos se ubican en una cancha de fútbol formando un triángulo, de tal manera
que entre Alberto y Betty hay 15 metros y entre Betty y Camilo hay 12 metros. Si el
ángulo formado en el vértice de Camilo es de

. Halle los ángulos formados en los
vértices de Alberto y de Betty, y la distancia entre Camilo y Alberto.

UpStudy AI · Accepted Answer

Para resolver el problema, utilizaremos la ley de los cosenos y la ley de los senos. Denotemos los puntos de los amigos de la siguiente manera:

- $$ A $$: Alberto
- $$ B $$: Betty
- $$ C $$: Camilo

Sabemos que:

- $$ AB = 15 $$ metros (distancia entre Alberto y Betty)
- $$ BC = 12 $$ metros (distancia entre Betty y Camilo)
- $$ \angle ACB = 35^\circ $$

Queremos encontrar los ángulos $$ \angle ABC $$ y $$ \angle BAC $$, así como la distancia $$ AC $$ (la distancia entre Camilo y Alberto).

### Paso 1: Aplicar la ley de los cosenos

Primero, aplicamos la ley de los cosenos para encontrar la distancia $$ AC $$:

$$
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ACB)
$$

Sustituyendo los valores:

$$
AC^2 = 15^2 + 12^2 - 2 \cdot 15 \cdot 12 \cdot \cos(35^\circ)
$$

Calculamos cada término:

$$
15^2 = 225
$$
$$
12^2 = 144
$$
$$
2 \cdot 15 \cdot 12 = 360
$$
$$
\cos(35^\circ) \approx 0.8192 \quad (\text{usando una calculadora})
$$

Ahora sustituimos:

$$
AC^2 = 225 + 144 - 360 \cdot 0.8192
$$
$$
AC^2 = 225 + 144 - 294.912
$$
$$
AC^2 = 369 - 294.912
$$
$$
AC^2 \approx 74.088
$$
$$
AC \approx \sqrt{74.088} \approx 8.62 \text{ metros}
$$

### Paso 2: Encontrar los ángulos $$ \angle ABC $$ y $$ \angle BAC $$

Ahora aplicamos la ley de los senos para encontrar los ángulos. La ley de los senos establece que:

$$
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
$$

Donde:
- $$ a = BC = 12 $$
- $$ b = AC \approx 8.62 $$
- $$ c = AB = 15 $$
- $$ C = \angle ACB = 35^\circ $$

Primero, encontramos $$ \angle ABC $$:

$$
\frac{BC}{\sin ACB} = \frac{AC}{\sin ABC}
$$

Sustituyendo los valores:

$$
\frac{12}{\sin(35^\circ)} = \frac{8.62}{\sin(ABC)}
$$

Calculamos $$ \sin(35^\circ) $$:

$$
\sin(35^\circ) \approx 0.5736
$$

Sustituyendo:

$$
\frac{12}{0.5736} = \frac{8.62}{\sin(ABC)}
$$

Calculamos:

$$
\frac{12}{0.5736} \approx 20.92
$$

Por lo tanto:

$$
20.92 = \frac{8.62}{\sin(ABC)}
$$

Despejamos $$ \sin(ABC) $$:

$$
\sin(ABC) = \frac{8.62}{20.92} \approx 0.412
$$

Ahora encontramos $$ \angle ABC $$:

$$
ABC \approx \arcsin(0.412) \approx 24.4^\circ
$$

### Paso 3: Encontrar $$ \angle BAC $$

Sabemos que la suma de los ángulos en un triángulo es $$ 180^\circ $$:

$$
\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ
$$

Sustituyendo los valores:

$$
\angle BAC + 24.4^\circ + 35^\circ = 180^\circ
$$

Despejamos $$ \angle BAC $$:

$$
\angle BAC = 180^\circ - 24.4^\circ - 35^\circ \approx 120.6^\circ
$$

### Resumen de resultados

- Distancia entre Camilo y Alberto $$ AC \approx 8.62 $$ metros
- Ángulo en el vértice de Alberto $$ \angle BAC \approx 120.6^\circ $$
- Ángulo en el vértice de Betty $$ \angle ABC \approx 24.4^\circ $$

Por lo tanto, los resultados son:

- $$ AC \approx 8.62 $$ metros
- $$ \angle BAC \approx 120.6^\circ $$
- $$ \angle ABC \approx 24.4^\circ $$
La distancia entre Camilo y Alberto es aproximadamente 8.62 metros, el ángulo en el vértice de Alberto es aproximadamente 120.6 grados y el ángulo en el vértice de Betty es aproximadamente 24.4 grados.

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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Solución

Paso 1: Aplicar la ley de los cosenos

Paso 2: Encontrar los ángulos y

Paso 3: Encontrar

Resumen de resultados

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