ibung exponentieller Prozesse 117 3. Für das Algenwachstum eines Sees gilt \( f(x)=10 \cdot 2^{x} \). Dabei gibt \( x \) die Zeit (in Wochen) nach dem Beobachtungsbeginn an und \( f(x) \) die Größe der bedeckten Fläche (in \( \mathrm{dm}^{2} \) ). a) Mit welchem Faktor vervielfacht sich die von den Algen bedeckte Fläche jeweils nach 4 Wochen, nach 6 Wochen, nach 8 Wochen, nach 10 Wochen? b) Welche Fläche ist nach 11 Wochen [ 10 Wochen; 9 Wochen] mit Algen bedeckt? c) Wie groß ist die Algenfläche nach \( \frac{1}{4} \) Woche, nach 1 Tag? d) Begründe: Nach 10 Wochen hat sich die mit Algen bedeckte Fläche ungefähr vertausendfacht. Bewerte das Ergebnis.

Die Funktion \( f(x) = 10 \cdot 2^{x} \) zeigt ein exponentielles Wachstum, wobei die Algenfläche sich nach jeder Woche verdoppelt. Nach 4 Wochen ist der Faktor \( 2^4 = 16 \), nach 6 Wochen \( 2^6 = 64 \), nach 8 Wochen \( 2^8 = 256 \) und nach 10 Wochen \( 2^{10} = 1024 \). Das bedeutet, die Fläche vervielfacht sich nach 4 Wochen um 16-fach, nach 6 Wochen um 64-fach, nach 8 Wochen um 256-fach und nach 10 Wochen um 1024-fach. Für die Berechnung der Fläche nach 11 Wochen, setzt man \( x = 11 \) in die Funktion ein: \( f(11) = 10 \cdot 2^{11} = 20,480 \, \mathrm{dm}^{2} \). Nach 10 Wochen: \( f(10) = 10 \cdot 2^{10} = 10,240 \, \mathrm{dm}^{2} \) und nach 9 Wochen: \( f(9) = 10 \cdot 2^{9} = 5,120 \, \mathrm{dm}^{2} \). Nach \( \frac{1}{4} \) Woche beträgt die Fläche \( f(0.25) = 10 \cdot 2^{0.25} \approx 10 \cdot 1.414 \approx 14.14 \, \mathrm{dm}^{2} \). Nach einem Tag gilt \( f(1/7) \approx 10 \cdot 2^{0.14} \approx 10 \cdot 1.10 \approx 11.0 \, \mathrm{dm}^{2} \). In 10 Wochen hat sich die Fahrfläche tatsächlich um den Faktor 10.000 vervielfacht, was zeigt, wie schnell sich Algen in einem nährstoffreichen See ausbreiten können. Dieses explosive Wachstum kann ernsthafte ökologischen Konsequenzen nach sich ziehen, wie Sauerstoffmangel oder unerwünschte Veränderungen im Ökosystem.