ibung exponentieller Prozesse
117
3. Für das Algenwachstum eines Sees gilt . Dabei gibt die Zeit (in Wochen) nach dem Beobachtungsbeginn an und die Größe der bedeckten Fläche (in ).
a) Mit welchem Faktor vervielfacht sich die von den Algen bedeckte Fläche jeweils nach 4 Wochen, nach 6 Wochen, nach 8 Wochen, nach 10 Wochen?
b) Welche Fläche ist nach 11 Wochen [ 10 Wochen; 9 Wochen] mit Algen bedeckt?
c) Wie groß ist die Algenfläche nach Woche, nach 1 Tag?
d) Begründe: Nach 10 Wochen hat sich die mit Algen bedeckte Fläche ungefähr vertausendfacht. Bewerte das Ergebnis.

Ask by Kelly Daniels. in the United Kingdom

Jan 27,2025

Question

ibung exponentieller Prozesse
117
3. Für das Algenwachstum eines Sees gilt . Dabei gibt die Zeit (in Wochen) nach dem Beobachtungsbeginn an und die Größe der bedeckten Fläche (in ).
a) Mit welchem Faktor vervielfacht sich die von den Algen bedeckte Fläche jeweils nach 4 Wochen, nach 6 Wochen, nach 8 Wochen, nach 10 Wochen?
b) Welche Fläche ist nach 11 Wochen [ 10 Wochen; 9 Wochen] mit Algen bedeckt?
c) Wie groß ist die Algenfläche nach Woche, nach 1 Tag?
d) Begründe: Nach 10 Wochen hat sich die mit Algen bedeckte Fläche ungefähr vertausendfacht. Bewerte das Ergebnis.

Ask by Kelly Daniels. in the United Kingdom

Jan 27,2025

UpStudy AI · Accepted Answer

### a) Vervielfachungsfaktoren nach 4, 6, 8 und 10 Wochen

Die Funktion für das Algenwachstum ist gegeben durch:
$$ f(x) = 10 \cdot 2^{x} $$
Dabei ist $$ f(x) $$ die Fläche der mit Algen bedeckten Oberfläche in $$\mathrm{dm}^{2}$$ nach $$ x $$ Wochen.

Der **Vervielfachungsfaktor** nach $$ t $$ Wochen berechnet sich als:
$$ \text{Faktor} = \frac{f(t)}{f(0)} = \frac{10 \cdot 2^{t}}{10 \cdot 2^{0}} = 2^{t} $$

Berechnen wir die Faktoren für die angegebenen Wochen:

- **Nach 4 Wochen:**
  $$ 2^{4} = 16 $$
  
- **Nach 6 Wochen:**
  $$ 2^{6} = 64 $$
  
- **Nach 8 Wochen:**
  $$ 2^{8} = 256 $$
  
- **Nach 10 Wochen:**
  $$ 2^{10} = 1024 $$

**Zusammenfassung:**
- Nach 4 Wochen vervielfacht sich die Fläche um den Faktor **16**.
- Nach 6 Wochen vervielfacht sich die Fläche um den Faktor **64**.
- Nach 8 Wochen vervielfacht sich die Fläche um den Faktor **256**.
- Nach 10 Wochen vervielfacht sich die Fläche um den Faktor **1024**.

### b) Bedeckte Fläche nach 11 Wochen

Die Fläche nach $$ x $$ Wochen berechnet sich durch die Funktion:
$$ f(x) = 10 \cdot 2^{x} $$

Für $$ x = 11 $$ Wochen:
$$ f(11) = 10 \cdot 2^{11} = 10 \cdot 2048 = 20.480 \, \mathrm{dm}^{2} $$

**Antwort:** Nach 11 Wochen ist eine Fläche von **20.480 $$\mathrm{dm}^{2}$$** mit Algen bedeckt.

### c) Bedeckte Fläche nach $$\frac{1}{4}$$ Woche und nach 1 Tag

**Nach $$\frac{1}{4}$$ Woche:**

$$ f\left(\frac{1}{4}\right) = 10 \cdot 2^{\frac{1}{4}} $$

Berechnung von $$ 2^{\frac{1}{4}} $$:
$$ 2^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{2} \approx 1{,}1892 $$

$$ f\left(\frac{1}{4}\right) \approx 10 \cdot 1{,}1892 = 11{,}89 \, \mathrm{dm}^{2} $$

**Nach 1 Tag:**

1 Woche = 7 Tage, daher ist 1 Tag = $$\frac{1}{7}$$ Woche.

$$ f\left(\frac{1}{7}\right) = 10 \cdot 2^{\frac{1}{7}} $$

Berechnung von $$ 2^{\frac{1}{7}} $$:
$$ 2^{\frac{1}{7}} \approx 1{,}1041 $$

$$ f\left(\frac{1}{7}\right) \approx 10 \cdot 1{,}1041 = 11{,}04 \, \mathrm{dm}^{2} $$

**Antwort:**
- Nach $$\frac{1}{4}$$ Woche ist eine Fläche von ca. **11 $$\mathrm{dm}^{2}$$** bedeckt.
- Nach 1 Tag ist eine Fläche von ca. **11 $$\mathrm{dm}^{2}$$** bedeckt.

### d) Begründung der ungefähr Vertausendfachung nach 10 Wochen und Bewertung

Nach 10 Wochen beträgt der Vervielfachungsfaktor:
$$ 2^{10} = 1024 \approx 1000 $$

Das bedeutet, dass sich die mit Algen bedeckte Fläche etwa **vertausendfacht** hat.

**Bewertung des Ergebnisses:**

Die exponentielle Wachstumsrate führt zu einer sehr schnellen Vergrößerung der Algenfläche. Eine Vertausendfachung innerhalb von nur 10 Wochen erscheint extrem hoch und könnte auf unbegrenzte Ressourcen oder ideale Bedingungen hinweisen. In der Realität sind jedoch oft begrenzende Faktoren wie Nährstoffmangel, Raubtiere oder Umweltbedingungen vorhanden, die ein solches ungebremstes Wachstum verhindern. Daher ist das Ergebnis eine theoretische Abschätzung unter Annahme idealer exponentieller Bedingungen und möglicherweise nicht vollständig realistisch.
### a) Vervielfachungsfaktoren nach 4, 6, 8 und 10 Wochen - **Nach 4 Wochen:** 16 - **Nach 6 Wochen:** 64 - **Nach 8 Wochen:** 256 - **Nach 10 Wochen:** 1024 ### b) Bedeckte Fläche nach 11 Wochen Nach 11 Wochen ist die Algenfläche ca. **20.480 $$\mathrm{dm}^{2}$$** bedeckt. ### c) Bedeckte Fläche nach $$\frac{1}{4}$$ Woche und nach 1 Tag - **Nach $$\frac{1}{4}$$ Woche:** ca. **11 $$\mathrm{dm}^{2}$$** - **Nach 1 Tag:** ca. **11 $$\mathrm{dm}^{2}$$** ### d) Begründung und Bewertung Nach 10 Wochen hat sich die Algenfläche um **1024** (ungefähr 1000) vervielfacht. Dies zeigt ein sehr schnelles exponentielles Wachstum. In der Realität sind oft begrenzende Faktoren vorhanden, die ein solches Wachstum verhindern.

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

a) Vervielfachungsfaktoren nach 4, 6, 8 und 10 Wochen

b) Bedeckte Fläche nach 11 Wochen

c) Bedeckte Fläche nach Woche und nach 1 Tag

d) Begründung und Bewertung

Solución

a) Vervielfachungsfaktoren nach 4, 6, 8 und 10 Wochen

b) Bedeckte Fläche nach 11 Wochen

c) Bedeckte Fläche nach Woche und nach 1 Tag

d) Begründung der ungefähr Vertausendfachung nach 10 Wochen und Bewertung

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