Majoration de la valeur absolue : $$ \int_{a}^{b} f(t) d t\left|\leq \int_{a}^{b}\right| f(t) \mid d t $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

La majoration de la valeur absolue que vous avez mentionnée est une propriété importante des intégrales. Voici une explication détaillée de cette inégalité :

### Énoncé de l'inégalité

Pour toute fonction $$ f $$ intégrable sur l'intervalle $$[a, b]$$, l'inégalité suivante est vraie :

$$
\left| \int_{a}^{b} f(t) \, dt \right| \leq \int_{a}^{b} |f(t)| \, dt
$$

### Explication des termes

- $$ \int_{a}^{b} f(t) \, dt $$ : C'est l'intégrale de la fonction $$ f $$ sur l'intervalle $$[a, b]$$.
- $$ |f(t)| $$ : C'est la valeur absolue de la fonction $$ f(t) $$.
- $$ \int_{a}^{b} |f(t)| \, dt $$ : C'est l'intégrale de la valeur absolue de $$ f(t) $$ sur l'intervalle $$[a, b]$$.

### Justification de l'inégalité

1. **Interprétation géométrique** : L'intégrale $$ \int_{a}^{b} f(t) \, dt $$ peut être vue comme l'aire algébrique sous la courbe de $$ f(t) $$. Si $$ f(t) $$ prend des valeurs négatives, ces aires seront soustraites. En revanche, $$ \int_{a}^{b} |f(t)| \, dt $$ représente toujours des aires positives, car la valeur absolue élimine les signes négatifs.

2. **Propriétés de la valeur absolue** : Pour tout $$ t $$ dans $$[a, b]$$, on a $$ |f(t)| \geq f(t) $$ et $$ |f(t)| \geq -f(t) $$. Cela signifie que la somme des contributions positives et négatives de $$ f(t) $$ est toujours inférieure ou égale à la somme des contributions absolues.

3. **Application de l'inégalité** : En intégrant ces inégalités sur l'intervalle $$[a, b]$$, on obtient :

$$
\int_{a}^{b} -|f(t)| \, dt \leq \int_{a}^{b} f(t) \, dt \leq \int_{a}^{b} |f(t)| \, dt
$$

En prenant la valeur absolue de l'intégrale à gauche, on arrive à l'inégalité souhaitée.

### Conclusion

Cette inégalité est très utile dans l'analyse des fonctions et des intégrales, car elle permet de contrôler la taille de l'intégrale d'une fonction en fonction de l'intégrale de sa valeur absolue. Cela est particulièrement important dans des contextes tels que l'étude de la convergence des intégrales et des séries.
Pour toute fonction $$ f $$ intégrable sur $$[a, b]$$, on a : $$ \left| \int_{a}^{b} f(t) \, dt \right| \leq \int_{a}^{b} |f(t)| \, dt $$ Cela signifie que la valeur absolue de l'intégrale de $$ f $$ est inférieure ou égale à l'intégrale de la valeur absolue de $$ f $$.

Majoration de la valeur absolue :

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