5. [2 pt] Se considera la función \( f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}a x+b & \text { si } & x<1 \\ x^{2}-b x+a & \text { si } & x \geq 1\end{array}\right. \) a) Halle los valores de \( a \) y de \( b \) para que \( f \) sea derivable en \( \Re \). b) Para \( a<0 \) y \( b=1 / 2 \), estudie el crecimiento y halle las abscisas de los extremos de la función \( f \). c) Para \( a=0 \) y \( b=1 / 2 \), represente la región del plano delimitada por la gráfica \( f \), el eje de abscisas y las rectas \( x=0 \) y \( x=2 \). Calcule el área de dicha región

### Parte a) Para que la función \( f \) sea derivable en \( \mathbb{R} \), debe ser continua en \( x = 1 \) y sus derivadas laterales en ese punto deben coincidir. 1. **Continuidad en \( x = 1 \):** Igualamos los valores de \( f \) cuando \( x \) se aproxima a 1 por la izquierda y por la derecha: \[ f(1^-) = a \cdot 1 + b = a + b \] \[ f(1^+) = 1^2 - b \cdot 1 + a = 1 - b + a \] Para continuidad: \[ a + b = 1 - b + a \implies 2b = 1 \implies b = \frac{1}{2} \] 2. **Igualdad de derivadas en \( x = 1 \):** Calculamos las derivadas a izquierda y derecha de \( x = 1 \): \[ f'(x) = \begin{cases} a & \text{si } x < 1 \\ 2x - b & \text{si } x \geq 1 \end{cases} \] Evaluando en \( x = 1 \): \[ f'(1^-) = a \] \[ f'(1^+) = 2 \cdot 1 - b = 2 - b \] Igualando las derivadas: \[ a = 2 - b = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \] **Respuesta:** Para que \( f \) sea derivable en \( \mathbb{R} \), se requiere que \( a = \frac{3}{2} \) y \( b = \frac{1}{2} \). --- ### Parte b) Dado que \( a < 0 \) y \( b = \frac{1}{2} \), estudiamos el crecimiento y los extremos de la función \( f \). 1. **Funciones por tramos:** \[ f(x) = \begin{cases} \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} & \text{si } x < 1 \\ x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} & \text{si } x \geq 1 \end{cases} \] Sin embargo, dado que \( a < 0 \), y en la parte a) vimos que \( a = \frac{3}{2} \) para derivabilidad, asumimos que ahora trabajamos con \( a \) diferente, manteniendo \( b = \frac{1}{2} \). 2. **Derivada de cada tramo:** \[ f'(x) = \begin{cases} a & \text{si } x < 1 \\ 2x - \frac{1}{2} & \text{si } x \geq 1 \end{cases} \] 3. **Análisis de crecimiento:** - Para \( x < 1 \): \[ f'(x) = a < 0 \implies \text{f decae} \] - Para \( x \geq 1 \): \[ f'(x) = 2x - \frac{1}{2} \] \[ 2x - \frac{1}{2} > 0 \implies x > \frac{1}{4} \] Dado que \( x \geq 1 \), siempre es positivo, por lo que \( f \) crece en este intervalo. 4. **Extremos:** - **Mínimo local en \( x = 1 \):** Dado que \( f \) decae antes de \( x = 1 \) y crece después, \( x = 1 \) es un mínimo local. **Respuesta:** Para \( a < 0 \) y \( b = \frac{1}{2} \): - La función \( f \) decrece para \( x < 1 \) y crece para \( x \geq 1 \). - Hay un mínimo local en \( x = 1 \). --- ### Parte c) Para \( a = 0 \) y \( b = \frac{1}{2} \), representamos la región delimitada por la gráfica de \( f \), el eje de abscisas, y las rectas \( x = 0 \) y \( x = 2 \), y calculamos el área de dicha región. 1. **Definición de la función:** \[ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & \text{si } x < 1 \\ x^2 - \frac{1}{2}x & \text{si } x \geq 1 \end{cases} \] 2. **Puntos de intersección con el eje de abscisas:** - Para \( x < 1 \): \[ \frac{1}{2} = 0 \implies \text{No hay intersección} \] - Para \( x \geq 1 \): \[ x^2 - \frac{1}{2}x = 0 \implies x(x - \frac{1}{2}) = 0 \implies x = 0 \text{ o } x = \frac{1}{2} \] Sin embargo, solo consideramos \( x \geq 1 \), por lo que no hay intersección adicional en este intervalo. Por lo tanto, la región está limitada entre \( x = 0 \) y \( x = 2 \), con la gráfica de \( f \). 3. **Cálculo del área:** La función cambia en \( x = 1 \), por lo que dividimos la integral: \[ \text{Área} = \int_{0}^{1} \frac{1}{2} \, dx + \int_{1}^{2} \left( x^2 - \frac{1}{2}x \right) \, dx \] Calculamos cada integral: - Para \( x \in [0,1] \): \[ \int_{0}^{1} \frac{1}{2} \, dx = \frac{1}{2} \cdot (1 - 0) = \frac{1}{2} \] - Para \( x \in [1,2] \): \[ \int_{1}^{2} \left( x^2 - \frac{1}{2}x \right) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{1}{4}x^2 \right]_1^2 \] Evaluamos en 2 y 1: \[ \left( \frac{8}{3} - \frac{4}{4} \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) = \left( \frac{8}{3} - 1 \right) - \left( \frac{4}{12} - \frac{3}{12} \right) = \left( \frac{5}{3} \right) - \left( \frac{1}{12} \right) = \frac{20}{12} - \frac{1}{12} = \frac{19}{12} \] Sumando ambas áreas: \[ \text{Área total} = \frac{1}{2} + \frac{19}{12} = \frac{6}{12} + \frac{19}{12} = \frac{25}{12} \approx 2.083 \text{ unidades cuadradas} \] **Respuesta:** c) Para \( a = 0 \) y \( b = \frac{1}{2} \), la región delimitada es el área bajo la gráfica de \( f \) desde \( x = 0 \) hasta \( x = 2 \), incluyendo el eje de abscisas y las rectas verticales en \( x = 0 \) y \( x = 2 \). El área de dicha región es \( \frac{25}{12} \) unidades cuadradas.