\( \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( n + 2 ) ! ( x + 2 ) ^ { n } \)

La serie que has proporcionado es: \[ \sum_{n=1}^{\infty} (n + 2)! \, (x + 2)^n \] ### Análisis de la Serie Para determinar la convergencia de esta serie, consideremos el comportamiento de sus términos generales: \[ a_n = (n + 2)! \, (x + 2)^n \] #### **1. Comportamiento de los Términos** El factorial \((n + 2)!\) crece muy rápidamente a medida que \(n\) aumenta. Por otro lado, \((x + 2)^n\) depende del valor de \(x\). Para analizar la convergencia, utilizaremos el **criterio de la raíz**. #### **2. Criterio de la Raíz** Calculamos el límite: \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{(n + 2)! \, |x + 2|^n} \] Simplificando: \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{(n + 2)!} \cdot |x + 2| \] Sabemos que: \[ \sqrt[n]{(n + 2)!} \approx \frac{n + 2}{e} \quad \text{cuando} \quad n \to \infty \] Por lo tanto: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{n + 2}{e} \cdot |x + 2| = \infty \quad \text{si} \quad |x + 2| \neq 0 \] #### **3. Convergencia de la Serie** Según el **criterio de la raíz**, si \(L > 1\), la serie diverge. Dado que \(L = \infty\) para cualquier \(x \neq -2\), la serie **diverge** para todos los valores de \(x\) excepto cuando \(x + 2 = 0\), es decir, cuando \(x = -2\). #### **4. Caso Especial: \(x = -2\)** Si \(x = -2\), entonces \((x + 2)^n = 0^n = 0\) para todo \(n \geq 1\). Por lo tanto, cada término de la serie es igual a cero: \[ a_n = (n + 2)! \cdot 0 = 0 \] En este caso, la serie converge y su suma es: \[ \sum_{n=1}^{\infty} 0 = 0 \] ### **Conclusión** La serie \(\sum_{n=1}^{\infty} (n + 2)! \, (x + 2)^n\) **solo converge** cuando \(x = -2\). Para cualquier otro valor de \(x\), la serie **diverge** debido al rápido crecimiento del factorial \((n + 2)!\).