\( \sqrt { 7 x + ( \frac { d ^ { 2 } y } { d x ^ { 2 } } ) ^ { 3 } } = ( \frac { d ^ { 2 } y } { d x ^ { 2 } } + 81 ) ^ { \frac { 1 } { 4 } } \)

Claro, vamos a resolver la ecuación diferencial dada paso a paso en español. ### Ecuación dada: \[ \sqrt{7x + \left( \frac{d^{2}y}{dx^{2}} \right)^{3}} = \left( \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + 81 \right)^{\frac{1}{4}} \] ### Paso 1: Simplificar la notación Para facilitar los cálculos, vamos a denotar la segunda derivada de \( y \) con respecto a \( x \) como \( z \): \[ z = \frac{d^{2}y}{dx^{2}} \] Entonces, la ecuación se convierte en: \[ \sqrt{7x + z^{3}} = \left( z + 81 \right)^{\frac{1}{4}} \] ### Paso 2: Eliminar las raíces Primero, elevamos ambos lados de la ecuación al cuadrado para eliminar la raíz cuadrada: \[ 7x + z^{3} = \left( z + 81 \right)^{\frac{1}{2}} \] Luego, elevamos nuevamente al cuadrado para eliminar la raíz de cuarto grado: \[ (7x + z^{3})^{2} = z + 81 \] ### Paso 3: Expandir y reorganizar la ecuación Expandiendo el lado izquierdo: \[ 49x^{2} + 14x z^{3} + z^{6} = z + 81 \] Reorganizando todos los términos al mismo lado: \[ z^{6} + 14x z^{3} + 49x^{2} - z - 81 = 0 \] ### Paso 4: Resolver para \( z \) La ecuación obtenida es una ecuación polinómica de sexto grado en términos de \( z \), lo cual es complejo de resolver analíticamente. En la mayoría de los casos, se requerirían métodos numéricos o aproximaciones para encontrar soluciones para \( z \) en función de \( x \). ### Paso 5: Integrar para encontrar \( y \) Una vez que se determine \( z(x) = \frac{d^{2}y}{dx^{2}} \), se puede integrar dos veces con respecto a \( x \) para encontrar la función \( y(x) \): 1. Integrar \( z(x) \) para encontrar la primera derivada \( \frac{dy}{dx} \). 2. Integrar nuevamente \( \frac{dy}{dx} \) para obtener \( y(x) \). ### Conclusión La ecuación diferencial presentada es de alto orden y complejidad, lo que sugiere que una solución exacta puede no ser factible sin recurrir a métodos numéricos. Dependiendo del contexto o las condiciones iniciales proporcionadas, se podrían aplicar técnicas específicas para aproximar la solución.