$$ f(x)=x^{3} imes|x| $$ Efudion la dorivbilite de $$ f(x) $$ ay and $$ x_{0}=0 $$

Question

$$ f(x)=x^{3} 	imes|x| $$ Efudion la dorivbilite de $$ f(x) $$ ay and $$ x_{0}=0 $$

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Pour déterminer la différentiabilité de la fonction $$ f(x) = x^{3} \times |x| $$ en $$ x_{0} = 0 $$, procédons étape par étape.

### 1. Expression de la fonction selon les signes de $$ x $$

La valeur absolue $$ |x| $$ peut être exprimée en fonction du signe de $$ x $$ :

$$
|x| =
\begin{cases}
x & \text{si } x \geq 0, \
-x & \text{si } x < 0.
\end{cases}
$$

Ainsi, la fonction $$ f(x) $$ devient :

$$
f(x) =
\begin{cases}
x^{3} \times x = x^{4} & \text{si } x \geq 0, \
x^{3} \times (-x) = -x^{4} & \text{si } x < 0.
\end{cases}
$$

### 2. Calcul des dérivées à gauche et à droite en $$ x = 0 $$

Pour vérifier la différentiabilité en $$ x = 0 $$, il faut calculer les dérivées à gauche et à droite et vérifier leur égalité.

#### a) Dérivée à droite ($$ h \to 0^+ $$):

$$
f'(0^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h^{4} - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} h^{3} = 0.
$$

#### b) Dérivée à gauche ($$ h \to 0^- $$):

$$
f'(0^-) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{(-h^{4}) - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} -h^{3} = 0.
$$

### 3. Conclusion sur la différentiabilité

Les deux dérivées latérales existent et sont égales :

$$
f'(0^+) = f'(0^-) = 0.
$$

Ainsi, la fonction $$ f(x) = x^{3} \times |x| $$ est **différentiable** en $$ x_{0} = 0 $$, et sa dérivée en ce point est :

$$
f'(0) = 0.
$$
La fonction $$ f(x) = x^{3} \times |x| $$ est différentiable en $$ x = 0 $$ et sa dérivée en ce point est 0.

Efudion la dorivbilite de ay and