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Para aproximar el área entre el eje \( x \) y la función \( f(x) = x^{3} - 6x \) desde \( x = -2 \) hasta \( x = 0 \) con sumas de Riemann izquierda y derecha, cada una divida en cuatro partes iguales, se obtienen las siguientes aproximaciones:
- **Suma de Riemann Izquierda:** \( 8.75 \)
- **Suma de Riemann Derecha:** \( 6.75 \)
Estas sumas proporcionan estimaciones del área bajo la curva en el mencionado intervalo.
Solución
Para aproximar el área entre el eje \( x \) y la función \( f(x) = x^{3} - 6x \) en el intervalo \( x = -2 \) a \( x = 0 \) utilizando sumas de Riemann izquierda y derecha con cuatro subdivisiones iguales, seguiremos los siguientes pasos:
### 1. Determinar el ancho de cada subdivisión (\( \Delta x \)):
El intervalo total es de \( -2 \) a \( 0 \), lo que da una longitud de \( 2 \). Dividido en 4 subintervalos:
\[
\Delta x = \frac{0 - (-2)}{4} = \frac{2}{4} = 0.5
\]
### 2. Identificar los puntos de evaluación:
#### a) **Sumas de Riemann Izquierda:**
Para la suma izquierda, evaluamos la función en el extremo izquierdo de cada subintervalo.
Los puntos son:
\[
x_0 = -2, \quad x_1 = -1.5, \quad x_2 = -1, \quad x_3 = -0.5
\]
#### b) **Sumas de Riemann Derecha:**
Para la suma derecha, evaluamos la función en el extremo derecho de cada subintervalo.
Los puntos son:
\[
x_1 = -1.5, \quad x_2 = -1, \quad x_3 = -0.5, \quad x_4 = 0
\]
### 3. Evaluar la función en los puntos seleccionados:
Calculamos \( f(x) = x^{3} - 6x \) en cada uno de los puntos:
#### a) **Suma Izquierda:**
\[
\begin{align*}
f(-2) &= (-2)^3 - 6(-2) = -8 + 12 = 4 \\
f(-1.5) &= (-1.5)^3 - 6(-1.5) = -3.375 + 9 = 5.625 \\
f(-1) &= (-1)^3 - 6(-1) = -1 + 6 = 5 \\
f(-0.5) &= (-0.5)^3 - 6(-0.5) = -0.125 + 3 = 2.875 \\
\end{align*}
\]
#### b) **Suma Derecha:**
\[
\begin{align*}
f(-1.5) &= 5.625 \quad (\text{ya calculado}) \\
f(-1) &= 5 \quad (\text{ya calculado}) \\
f(-0.5) &= 2.875 \quad (\text{ya calculado}) \\
f(0) &= (0)^3 - 6(0) = 0 \\
\end{align*}
\]
### 4. Calcular las sumas de Riemann:
#### a) **Suma de Riemann Izquierda (\( S_L \))**:
\[
S_L = \Delta x [f(-2) + f(-1.5) + f(-1) + f(-0.5)] \\
S_L = 0.5 [4 + 5.625 + 5 + 2.875] \\
S_L = 0.5 [17.5] = 8.75
\]
#### b) **Suma de Riemann Derecha (\( S_R \))**:
\[
S_R = \Delta x [f(-1.5) + f(-1) + f(-0.5) + f(0)] \\
S_R = 0.5 [5.625 + 5 + 2.875 + 0] \\
S_R = 0.5 [13.5] = 6.75
\]
### 5. Conclusión:
- **Aproximación por sumas de Riemann Izquierda:** \( 8.75 \)
- **Aproximación por sumas de Riemann Derecha:** \( 6.75 \)
Estas aproximaciones proporcionan una estimación del área bajo la curva de \( f(x) = x^{3} - 6x \) entre \( x = -2 \) y \( x = 0 \) utilizando cuatro subdivisiones iguales.
Revisado y aprobado por el equipo de tutoría de UpStudy
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