3. Una urna contiene 5 bolas rojas y 8 verdes. Se extrae una bo:la y se reemplaza por dos del otro color. A continuación, se extrae una segunda bola. Se pide: a. Probabilidac de que la segunda bola sea verde. b. . Probabilidad de que las dos holas extraidas sean del mismo color. 4. En una ciudac, el \( 40 \% \) de la población tiene cabellos castaños, el \( 25 \% \) tene ojos castañosy el \( 15 \% \) tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar: a. Si tiene los cabellos castaños, cuálesla prohahiliad dol

Vamos a resolver cada uno de los incisos planteados: --- ### **Problema 3** **Datos iniciales:** - Bolas rojas: 5 - Bolas verdes: 8 - Total de bolas: 13 Después de extraer una bola y reemplazarla por dos de otro color, el total de bolas será siempre 14 (13 - 1 + 2). #### **a. Probabilidad de que la segunda bola sea verde** **Paso 1:** Determinamos las dos posibilidades al extraer la primera bola: 1. **Primera bola es roja:** - Probabilidad: \( P(R) = \frac{5}{13} \) - Se reemplaza por dos bolas verdes. - Nueva composición: 4 rojas y 10 verdes. - Probabilidad de extraer una verde en el segundo intento: \( P(V|R) = \frac{10}{14} = \frac{5}{7} \) 2. **Primera bola es verde:** - Probabilidad: \( P(V) = \frac{8}{13} \) - Se reemplaza por dos bolas rojas. - Nueva composición: 7 rojas y 7 verdes. - Probabilidad de extraer una verde en el segundo intento: \( P(V|V) = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} \) **Paso 2:** Aplicamos la regla de la probabilidad total: \[ P(\text{segunda verde}) = P(R) \times P(V|R) + P(V) \times P(V|V) = \frac{5}{13} \times \frac{5}{7} + \frac{8}{13} \times \frac{1}{2} = \frac{25}{91} + \frac{4}{13} = \frac{25}{91} + \frac{28}{91} = \frac{53}{91} \approx 0.5824 \text{ o } 58.24\% \] #### **b. Probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color** Debemos considerar dos casos: ambas rojas o ambas verdes. 1. **Ambas rojas:** - \( P(\text{primera roja}) = \frac{5}{13} \) - Después de reemplazar, hay 4 rojas y 10 verdes. - \( P(\text{segunda roja} | \text{primera roja}) = \frac{4}{14} = \frac{2}{7} \) - Contribución: \( \frac{5}{13} \times \frac{2}{7} = \frac{10}{91} \) 2. **Ambas verdes:** - \( P(\text{primera verde}) = \frac{8}{13} \) - Después de reemplazar, hay 7 rojas y 7 verdes. - \( P(\text{segunda verde} | \text{primera verde}) = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} \) - Contribución: \( \frac{8}{13} \times \frac{1}{2} = \frac{4}{13} = \frac{28}{91} \) **Total:** \[ P(\text{mismo color}) = \frac{10}{91} + \frac{28}{91} = \frac{38}{91} \approx 0.4176 \text{ o } 41.76\% \] --- ### **Problema 4** **Datos:** - Población con cabellos castaños: \( P(C) = 40\% = 0.40 \) - Población con ojos castaños: \( P(O) = 25\% = 0.25 \) - Población con cabellos y ojos castaños: \( P(C \cap O) = 15\% = 0.15 \) #### **a. Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga ojos castaños?** Estamos buscando la probabilidad condicional \( P(O | C) \), es decir, la probabilidad de que una persona tenga ojos castaños dado que ya se sabe que tiene cabellos castaños. La fórmula para la probabilidad condicional es: \[ P(O | C) = \frac{P(C \cap O)}{P(C)} \] Sustituyendo los valores: \[ P(O | C) = \frac{0.15}{0.40} = 0.375 \text{ o } 37.5\% \] **Interpretación:** Si sabemos que una persona tiene los cabellos castaños, la probabilidad de que también tenga ojos castaños es del 37.5%. ---