fixai un riferimento \( R C(O x y) \) del piano, con base ortonormale \( \mathcal{B}=\{\vec{i}, \vec{j}\} \). La retta apparte ate al fascio generato da \( r: x+2 y-1=0 \) ed \( s: 2 x+3 y-1=0 \), parallela al vettore \( 2 \vec{i}-3 \vec{j} \), Aette equazione: \( \begin{array}{l}3 x+2 y-3=0 \\ 3 x+2 y+1=0 \\ 2 x+3 y+1=0 \\ 6 x+4 y-5=0\end{array} \)

Per trovare un'equazione di una retta che appartiene al fascio generato dalle due rette \( r \) e \( s \) e che è parallela al vettore \( 2 \vec{i} - 3 \vec{j} \), dobbiamo prima trovare il punto di intersezione delle due rette, quindi generare una retta parallela. ### Passo 1: Troviamo l’intersezione tra \( r \) e \( s \): Equazioni: 1. \( x + 2y - 1 = 0 \) (da \( r \)) 2. \( 2x + 3y - 1 = 0 \) (da \( s \)) Risolviamo il sistema di equazioni. Dalla prima equazione, possiamo esprimere \( x \): \[ x = 1 - 2y \] Sostituendo \( x \) nella seconda equazione: \[ 2(1 - 2y) + 3y - 1 = 0 \] \[ 2 - 4y + 3y - 1 = 0 \] \[ -y + 1 = 0 \text{ quindi } y = 1 \] Ora sostituiamo \( y \) nella prima equazione: \[ x + 2(1) - 1 = 0 \] \[ x + 2 - 1 = 0 \rightarrow x = -1 \] Quindi l’intersezione è il punto \( (-1, 1) \). ### Passo 2: Creiamo la retta parallela. La retta cercata avrà la forma: \[ y - 1 = m(x + 1) \] dove \( m \) rappresenta il coefficiente angolare legato al vettore \( 2 \vec{i} - 3 \vec{j} \). Questo coefficiente angolare è dato da \( \frac{-3}{2} \): \[ y - 1 = \frac{-3}{2}(x + 1) \] Risolvendo: \[ y - 1 = \frac{-3}{2}x - \frac{3}{2} \] \[ y = \frac{-3}{2}x - \frac{1}{2} \] Portiamo l'equazione alla forma normale: \[ 3x + 2y + 1 = 0 \] L’equazione che soddisfa le condizioni richieste è quindi: \[ 3x + 2y + 1 = 0 \] Verifica delle opzioni: La risposta corretta è: \( 3x + 2y + 1 = 0 \)