DEBER 2.4 DE MATEMÁTICA OPTATIVA Hallar la matriz inversa de las siguientes matrices, si es posible. \( \mathrm{A}=\left[\left.\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1\end{array} \right\rvert\,\right. \) \( \mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}3 & -2 \\ 5 & 1\end{array}\right) \)

Para hallar la matriz inversa de las matrices dadas, seguiremos los pasos estándar para matrices de dimensiones \(2 \times 2\) y \(3 \times 3\). --- ### 1. Matriz \( \mathrm{A} \) de \(3 \times 3 \) Dada la matriz: \[ \mathrm{A} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] **Paso 1: Calcular el determinante de \( \mathrm{A} \)** El determinante de una matriz \(3 \times 3\) se calcula de la siguiente manera: \[ \det(\mathrm{A}) = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}) \] Aplicando los valores de \( \mathrm{A} \): \[ \det(\mathrm{A}) = 1(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) - (-1)(0 \cdot 1 - 0 \cdot 2) + 0(0 \cdot 0 - 1 \cdot 2) = 1(1) + 1(0) + 0(-2) = 1 \] Como \( \det(\mathrm{A}) = 1 \neq 0 \), la matriz es invertible. **Paso 2: Encontrar la matriz adjunta de \( \mathrm{A} \)** Primero, calculamos la matriz de cofactores: \[ \text{Cofactores de } \mathrm{A} = \begin{pmatrix} +1 & 0 & -2 \\ +1 & +1 & -2 \\ 0 & 0 & +1 \end{pmatrix} \] Luego, la adjunta de \( \mathrm{A} \) es la traspuesta de la matriz de cofactores: \[ \text{Adj}(\mathrm{A}) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & -2 & 1 \end{pmatrix} \] **Paso 3: Calcular la inversa** La inversa de \( \mathrm{A} \) se obtiene multiplicando la adjunta por \( \frac{1}{\det(\mathrm{A})} \): \[ \mathrm{A}^{-1} = \frac{1}{1} \cdot \text{Adj}(\mathrm{A}) = \text{Adj}(\mathrm{A}) \] \[ \mathrm{A}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & -2 & 1 \end{pmatrix} \] --- ### 2. Matriz \( \mathrm{A} \) de \(2 \times 2 \) Dada la matriz: \[ \mathrm{A} = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} \] **Paso 1: Calcular el determinante de \( \mathrm{A} \)** Para una matriz \(2 \times 2\), el determinante se calcula como: \[ \det(\mathrm{A}) = ad - bc = (3)(1) - (5)(-2) = 3 + 10 = 13 \] Dado que \( \det(\mathrm{A}) = 13 \neq 0 \), la matriz es invertible. **Paso 2: Encontrar la inversa de \( \mathrm{A} \)** La fórmula para la inversa de una matriz \(2 \times 2\) es: \[ \mathrm{A}^{-1} = \frac{1}{\det(\mathrm{A})} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \] Sustituyendo los valores: \[ \mathrm{A}^{-1} = \frac{1}{13} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} \] \[ \mathrm{A}^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{13} & \frac{2}{13} \\ -\frac{5}{13} & \frac{3}{13} \end{pmatrix} \] --- **Conclusión:** - La inversa de la matriz \(3 \times 3\) es: \[ \mathrm{A}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & -2 & 1 \end{pmatrix} \] - La inversa de la matriz \(2 \times 2\) es: \[ \mathrm{A}^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{13} & \frac{2}{13} \\ -\frac{5}{13} & \frac{3}{13} \end{pmatrix} \] Ambas matrices son invertibles ya que sus determinantes son distintos de cero.