3. Radioaktiver Schwefel zerfällt so, dass die Masse jedes Jahr um \( \frac{1}{12} \) abnimmt. Es sind anfangs 6 g Schwefel vorhanden. a) Wie viel Schwefel sind nach \( 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 \) Jahren noch vorhanden? b) Zeichne den Fuktionsgraphen und stelle eine Funktionsgleichung auf. c) Welcher Anteil ist nach 10 Jahren noch vorhanden? d) Ermittle die Halbwertszeit von radioaktivem Schwefel.

Um die Menge an radioaktivem Schwefel zu bestimmen, der nach jeder bestimmten Anzahl von Jahren vorhanden ist, verwenden wir die Formel: \[ M(t) = M_0 \cdot \left(1 - \frac{1}{12}\right)^t \] Hierbei ist \( M_0 = 6 \, \text{g} \) die Anfangsmasse und \( t \) die Anzahl der Jahre. a) Für die Berechnung nach \( 1; 2; 3; 4; 5; 6 \) Jahren: - Nach 1 Jahr: \( M(1) = 6 \cdot \left(1 - \frac{1}{12}\right)^1 \approx 5.5 \, \text{g} \) - Nach 2 Jahren: \( M(2) = 6 \cdot \left(1 - \frac{1}{12}\right)^2 \approx 5.3 \, \text{g} \) - Nach 3 Jahren: \( M(3) = 6 \cdot \left(1 - \frac{1}{12}\right)^3 \approx 5.0 \, \text{g} \) - Nach 4 Jahren: \( M(4) = 6 \cdot \left(1 - \frac{1}{12}\right)^4 \approx 4.7 \, \text{g} \) - Nach 5 Jahren: \( M(5) = 6 \cdot \left(1 - \frac{1}{12}\right)^5 \approx 4.4 \, \text{g} \) - Nach 6 Jahren: \( M(6) = 6 \cdot \left(1 - \frac{1}{12}\right)^6 \approx 4.1 \, \text{g} \) b) Die Funktionsgleichung lautet also: \[ M(t) = 6 \cdot \left(1 - \frac{1}{12}\right)^t \] Für den Graphen zeichnen wir die Werte und verbinden sie, um die exponentielle Abnahme darzustellen. c) Nach 10 Jahren: \[ M(10) = 6 \cdot \left(1 - \frac{1}{12}\right)^{10} \approx 3.2 \, \text{g} \] d) Die Halbwertszeit \( t_{1/2} \) ist die Zeit, nach der die Masse auf die Hälfte ihrer Anfangsmasse gesunken ist. Wir setzen \( M(t_{1/2}) = 3 \, \text{g} \) in die Gleichung ein: \[ 3 = 6 \cdot \left(1 - \frac{1}{12}\right)^{t_{1/2}} \] Daraus folgt: \[ \frac{1}{2} = \left(1 - \frac{1}{12}\right)^{t_{1/2}} \] Durch Logarithmieren und Umstellen erhalten wir: \[ t_{1/2} \approx 8.3 \, \text{Jahre} \] Das bedeutet, nach etwas mehr als 8 Jahren ist die Menge an radioaktivem Schwefel auf die Hälfte gefallen!