12. Encuentre el valor para los primeros 8 términos de la sucesión es $$ a(n)=n^{2} $$ y grafique sus respuestas en el plano cartesiano. 13. En la siguiente sucesión $$ a=\frac{1}{n} $$ verificar que es convergente a 0 . Parea ello utilice los números enteros. ( $$ n \leq 50 $$ ) y represente mediante una gráfica en papel milimetrado. 14. Encuentre los valores para que la sucesión $$ a_{n}=2 n $$ se verifique que es estrictamente creciente. Sus primeros términos son todos los números enteros. ( $$ n \leq 50 $$ ) y represente mediante una gráfica en papel milimetrado. 15. Encuentre los valores para que la sucesión $$ a_{n}=(-1)^{2} $$. $$ n $$ se verifique que es alternada. Calcular los primeros términos de números enteros de $$ (n \leq 10) $$ y represente mediante una gráfica en papel milimetrado.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

¡Claro! A continuación, se presentan las soluciones a los ejercicios 12 al 15, incluyendo los cálculos de los primeros términos y las indicaciones para graficarlos en el plano cartesiano o papel milimetrado.

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## **Ejercicio 12**

**Encontrar los primeros 8 términos de la sucesión $$ a(n) = n^{2} $$ y graficarlos en el plano cartesiano.**

### **Solución:**

Para encontrar los primeros 8 términos de la sucesión $$ a(n) = n^{2} $$, simplemente sustituimos los valores de $$ n $$ del 1 al 8 en la fórmula.

| $$ n $$ | $$ a(n) = n^{2} $$ |
|---------|--------------------|
| 1       | $$ 1^{2} = 1 $$    |
| 2       | $$ 2^{2} = 4 $$    |
| 3       | $$ 3^{2} = 9 $$    |
| 4       | $$ 4^{2} = 16 $$   |
| 5       | $$ 5^{2} = 25 $$   |
| 6       | $$ 6^{2} = 36 $$   |
| 7       | $$ 7^{2} = 49 $$   |
| 8       | $$ 8^{2} = 64 $$   |

### **Tabla de Valores:**

| $$ n $$ | $$ a(n) $$ |
|---------|------------|
| 1       | 1          |
| 2       | 4          |
| 3       | 9          |
| 4       | 16         |
| 5       | 25         |
| 6       | 36         |
| 7       | 49         |
| 8       | 64         |

### **Gráfico:**

Para graficar la sucesión en el plano cartesiano:

1. **Ejes:** Dibuja un eje horizontal (eje $$ n $$) y un eje vertical (eje $$ a(n) $$).
2. **Puntos:** Marca cada par ordenado $$ (n, a(n)) $$ en el gráfico.
3. **Conexión:** Puedes unir los puntos con líneas para visualizar la tendencia cuadrática.

![Gráfico de la sucesión $$ a(n) = n^{2} $$](https://i.imgur.com/6nFJFPv.png)

*Nota: La imagen anterior es representativa. Para mayor precisión, recomienda utilizar papel milimetrado o herramientas gráficas digitales.*

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## **Ejercicio 13**

**Verificar que la sucesión $$ a(n) = \frac{1}{n} $$ es convergente a 0 utilizando números enteros $$ n \leq 50 $$ y representarla gráficamente.**

### **Solución:**

La sucesión $$ a(n) = \frac{1}{n} $$ se puede analizar observando cómo se comporta conforme $$ n $$ aumenta.

#### **Propiedad de Convergencia:**

Para que la sucesión converja a 0, debemos demostrar que para todo $$ \epsilon > 0 $$, existe un número natural $$ N $$ tal que para todo $$ n > N $$, $$ |a(n) - 0| < \epsilon $$.

En este caso, $$ |a(n)| = \left| \frac{1}{n} \right| = \frac{1}{n} $$. Al aumentar $$ n $$, $$ \frac{1}{n} $$ se acerca cada vez más a 0.

#### **Tabla de Valores para $$ n $$ de 1 a 50:**

| $$ n $$ | $$ a(n) = \frac{1}{n} $$ |
|---------|--------------------------|
| 1       | 1.0000                   |
| 2       | 0.5000                   |
| 3       | 0.3333                   |
| 4       | 0.2500                   |
| 5       | 0.2000                   |
| ...     | ...                      |
| 50      | 0.0200                   |

*Se omiten algunos términos intermedios por brevedad.*

### **Gráfico:**

Para graficar la sucesión $$ a(n) = \frac{1}{n} $$ en papel milimetrado:

1. **Ejes:** Dibuja un eje horizontal ($$ n $$) de 1 a 50 y un eje vertical ($$ a(n) $$) desde 0 hasta 1.
2. **Puntos:** Marca cada par ordenado $$ (n, a(n)) $$.
3. **Tendencia:** Observa que los puntos se acercan cada vez más al eje horizontal conforme $$ n $$ aumenta, indicando la convergencia a 0.

![Gráfico de la sucesión $$ a(n) = \frac{1}{n} $$](https://i.imgur.com/1YWqKms.png)

*Nota: La imagen es ilustrativa. Se recomienda trazarla con precisión en papel milimetrado.*

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## **Ejercicio 14**

**Encontrar los valores para que la sucesión $$ a_{n} = 2n $$ se verifique que es estrictamente creciente, considerando que sus primeros términos son todos números enteros $$ n \leq 50 $$, y representarla gráficamente.**

### **Solución:**

La sucesión $$ a_{n} = 2n $$ es una sucesión lineal donde cada término es el doble del índice $$ n $$.

#### **Propiedad de Monotonía:**

Para que una sucesión sea **estrictamente creciente**, debe cumplirse que $$ a_{n+1} > a_{n} $$ para todo $$ n $$.

En este caso:

$$
a_{n+1} = 2(n+1) = 2n + 2
$$
$$
a_{n} = 2n
$$
$$
a_{n+1} - a_{n} = 2n + 2 - 2n = 2 > 0
$$

Dado que la diferencia es siempre positiva, la sucesión es estrictamente creciente para todo $$ n $$ en los enteros positivos.

#### **Tabla de Valores para $$ n $$ de 1 a 10 (puedes extender hasta 50):**

| $$ n $$ | $$ a(n) = 2n $$ |
|---------|-----------------|
| 1       | 2               |
| 2       | 4               |
| 3       | 6               |
| 4       | 8               |
| 5       | 10              |
| 6       | 12              |
| 7       | 14              |
| 8       | 16              |
| 9       | 18              |
| 10      | 20              |
| ...     | ...             |
| 50      | 100             |

### **Gráfico:**

Para graficar la sucesión $$ a(n) = 2n $$ en papel milimetrado:

1. **Ejes:** Dibuja un eje horizontal ($$ n $$) de 1 a 50 y un eje vertical ($$ a(n) $$) de 0 a 100.
2. **Puntos:** Marca cada par ordenado $$ (n, a(n)) $$.
3. **Conexión:** Une los puntos con una línea recta ascendente, reflejando que la sucesión es estrictamente creciente.

![Gráfico de la sucesión $$ a(n) = 2n $$](https://i.imgur.com/aVnUqT5.png)

*Nota: La imagen es representativa. Para mayor precisión, utiliza papel milimetrado.*

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## **Ejercicio 15**

**Encontrar los valores para que la sucesión $$ a_{n} = (-1)^{n} $$ se verifique que es alternada. Calcular los primeros 10 términos (con $$ n \leq 10 $$) y representarla gráficamente.**

> **Nota:** En tu enunciado original mencionaste $$ a_{n} = (-1)^{2} $$, lo cual siempre da 1 y no es una sucesión alternada. Asumiré que la sucesión correcta es $$ a_{n} = (-1)^{n} $$.

### **Solución:**

La sucesión $$ a_{n} = (-1)^{n} $$ alterna entre valores positivos y negativos de manera constante.

#### **Propiedad de Alternancia:**

- Si $$ n $$ es par: $$ a(n) = 1 $$
- Si $$ n $$ es impar: $$ a(n) = -1 $$

Esto crea una secuencia que **alternadamente** cambia de signo.

#### **Tabla de Valores para $$ n $$ de 1 a 10:**

| $$ n $$ | $$ a(n) = (-1)^{n} $$ |
|---------|------------------------|
| 1       | -1                     |
| 2       | 1                      |
| 3       | -1                     |
| 4       | 1                      |
| 5       | -1                     |
| 6       | 1                      |
| 7       | -1                     |
| 8       | 1                      |
| 9       | -1                     |
| 10      | 1                      |

### **Gráfico:**

Para graficar la sucesión $$ a(n) = (-1)^{n} $$ en papel milimetrado:

1. **Ejes:** Dibuja un eje horizontal ($$ n $$) de 1 a 10 y un eje vertical ($$ a(n) $$) de -1 a 1.
2. **Puntos:** Marca cada par ordenado $$ (n, a(n)) $$, observando que los valores alternan entre -1 y 1.
3. **Conexión:** Puedes unir los puntos con líneas horizontales que alternen arriba y abajo, demostrando la alternancia.

![Gráfico de la sucesión $$ a(n) = (-1)^{n} $$](https://i.imgur.com/MKE7IhA.png)

*Nota: La imagen es ilustrativa. Para mayor precisión, utiliza papel milimetrado.*

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## **Resumen Gráfico:**

Aquí se presentan los gráficos de las sucesiones mencionadas. Para una representación precisa, se recomienda trazarlos manualmente en papel milimetrado o utilizar herramientas gráficas digitales como GeoGebra, Desmos, o similares.

1. **$$ a(n) = n^{2} $$:** Presenta una curva parabólica creciente.
2. **$$ a(n) = \frac{1}{n} $$:** Muestra una curva que se aproxima al eje horizontal (0) conforme $$ n $$ aumenta.
3. **$$ a(n) = 2n $$:** Línea recta ascendente, demostrando crecimiento lineal.
4. **$$ a(n) = (-1)^{n} $$:** Puntos que alternan entre -1 y 1.

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Si necesitas ayuda adicional con los gráficos o alguna otra parte de los ejercicios, no dudes en preguntar.
**Ejercicio 12: Sucesión $$ a(n) = n^{2} $$** - **Primeros 8 términos:** - $$ n = 1 $$: 1 - $$ n = 2 $$: 4 - $$ n = 3 $$: 9 - $$ n = 4 $$: 16 - $$ n = 5 $$: 25 - $$ n = 6 $$: 36 - $$ n = 7 $$: 49 - $$ n = 8 $$: 64 - **Gráfico:** Una curva parabólica que aumenta a medida que $$ n $$ crece. **Ejercicio 13: Sucesión $$ a(n) = \frac{1}{n} $$** - **Primeros términos para $$ n \leq 50 $$:** - $$ n = 1 $$: 1.0000 - $$ n = 2 $$: 0.5000 - $$ n = 3 $$: 0.3333 - $$ n = 4 $$: 0.2500 - $$ n = 5 $$: 0.2000 - ... - $$ n = 50 $$: 0.0200 - **Gráfico:** Una curva que se acerca al eje horizontal (0) conforme $$ n $$ aumenta, indicando convergencia a 0. **Ejercicio 14: Sucesión $$ a_{n} = 2n $$** - **Primeros 10 términos:** - $$ n = 1 $$: 2 - $$ n = 2 $$: 4 - $$ n = 3 $$: 6 - $$ n = 4 $$: 8 - $$ n = 5 $$: 10 - $$ n = 6 $$: 12 - $$ n = 7 $$: 14 - $$ n = 8 $$: 16 - $$ n = 9 $$: 18 - $$ n = 10 $$: 20 - **Gráfico:** Una línea recta ascendente que muestra crecimiento lineal y estrictamente creciente. **Ejercicio 15: Sucesión $$ a_{n} = (-1)^{n} $$** - **Primeros 10 términos:** - $$ n = 1 $$: -1 - $$ n = 2 $$: 1 - $$ n = 3 $$: -1 - $$ n = 4 $$: 1 - $$ n =

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