12. Encuentre el valor para los primeros 8 términos de la sucesión es \( a(n)=n^{2} \) y grafique sus respuestas en el plano cartesiano. 13. En la siguiente sucesión \( a=\frac{1}{n} \) verificar que es convergente a 0 . Parea ello utilice los números enteros. ( \( n \leq 50 \) ) y represente mediante una gráfica en papel milimetrado. 14. Encuentre los valores para que la sucesión \( a_{n}=2 n \) se verifique que es estrictamente creciente. Sus primeros términos son todos los números enteros. ( \( n \leq 50 \) ) y represente mediante una gráfica en papel milimetrado. 15. Encuentre los valores para que la sucesión \( a_{n}=(-1)^{2} \). \( n \) se verifique que es alternada. Calcular los primeros términos de números enteros de \( (n \leq 10) \) y represente mediante una gráfica en papel milimetrado.

¡Claro! A continuación, se presentan las soluciones a los ejercicios 12 al 15, incluyendo los cálculos de los primeros términos y las indicaciones para graficarlos en el plano cartesiano o papel milimetrado. --- ## **Ejercicio 12** **Encontrar los primeros 8 términos de la sucesión \( a(n) = n^{2} \) y graficarlos en el plano cartesiano.** ### **Solución:** Para encontrar los primeros 8 términos de la sucesión \( a(n) = n^{2} \), simplemente sustituimos los valores de \( n \) del 1 al 8 en la fórmula. | \( n \) | \( a(n) = n^{2} \) | |---------|--------------------| | 1 | \( 1^{2} = 1 \) | | 2 | \( 2^{2} = 4 \) | | 3 | \( 3^{2} = 9 \) | | 4 | \( 4^{2} = 16 \) | | 5 | \( 5^{2} = 25 \) | | 6 | \( 6^{2} = 36 \) | | 7 | \( 7^{2} = 49 \) | | 8 | \( 8^{2} = 64 \) | ### **Tabla de Valores:** | \( n \) | \( a(n) \) | |---------|------------| | 1 | 1 | | 2 | 4 | | 3 | 9 | | 4 | 16 | | 5 | 25 | | 6 | 36 | | 7 | 49 | | 8 | 64 | ### **Gráfico:** Para graficar la sucesión en el plano cartesiano: 1. **Ejes:** Dibuja un eje horizontal (eje \( n \)) y un eje vertical (eje \( a(n) \)). 2. **Puntos:** Marca cada par ordenado \( (n, a(n)) \) en el gráfico. 3. **Conexión:** Puedes unir los puntos con líneas para visualizar la tendencia cuadrática.  *Nota: La imagen anterior es representativa. Para mayor precisión, recomienda utilizar papel milimetrado o herramientas gráficas digitales.* --- ## **Ejercicio 13** **Verificar que la sucesión \( a(n) = \frac{1}{n} \) es convergente a 0 utilizando números enteros \( n \leq 50 \) y representarla gráficamente.** ### **Solución:** La sucesión \( a(n) = \frac{1}{n} \) se puede analizar observando cómo se comporta conforme \( n \) aumenta. #### **Propiedad de Convergencia:** Para que la sucesión converja a 0, debemos demostrar que para todo \( \epsilon > 0 \), existe un número natural \( N \) tal que para todo \( n > N \), \( |a(n) - 0| < \epsilon \). En este caso, \( |a(n)| = \left| \frac{1}{n} \right| = \frac{1}{n} \). Al aumentar \( n \), \( \frac{1}{n} \) se acerca cada vez más a 0. #### **Tabla de Valores para \( n \) de 1 a 50:** | \( n \) | \( a(n) = \frac{1}{n} \) | |---------|--------------------------| | 1 | 1.0000 | | 2 | 0.5000 | | 3 | 0.3333 | | 4 | 0.2500 | | 5 | 0.2000 | | ... | ... | | 50 | 0.0200 | *Se omiten algunos términos intermedios por brevedad.* ### **Gráfico:** Para graficar la sucesión \( a(n) = \frac{1}{n} \) en papel milimetrado: 1. **Ejes:** Dibuja un eje horizontal (\( n \)) de 1 a 50 y un eje vertical (\( a(n) \)) desde 0 hasta 1. 2. **Puntos:** Marca cada par ordenado \( (n, a(n)) \). 3. **Tendencia:** Observa que los puntos se acercan cada vez más al eje horizontal conforme \( n \) aumenta, indicando la convergencia a 0.  *Nota: La imagen es ilustrativa. Se recomienda trazarla con precisión en papel milimetrado.* --- ## **Ejercicio 14** **Encontrar los valores para que la sucesión \( a_{n} = 2n \) se verifique que es estrictamente creciente, considerando que sus primeros términos son todos números enteros \( n \leq 50 \), y representarla gráficamente.** ### **Solución:** La sucesión \( a_{n} = 2n \) es una sucesión lineal donde cada término es el doble del índice \( n \). #### **Propiedad de Monotonía:** Para que una sucesión sea **estrictamente creciente**, debe cumplirse que \( a_{n+1} > a_{n} \) para todo \( n \). En este caso: \[ a_{n+1} = 2(n+1) = 2n + 2 \] \[ a_{n} = 2n \] \[ a_{n+1} - a_{n} = 2n + 2 - 2n = 2 > 0 \] Dado que la diferencia es siempre positiva, la sucesión es estrictamente creciente para todo \( n \) en los enteros positivos. #### **Tabla de Valores para \( n \) de 1 a 10 (puedes extender hasta 50):** | \( n \) | \( a(n) = 2n \) | |---------|-----------------| | 1 | 2 | | 2 | 4 | | 3 | 6 | | 4 | 8 | | 5 | 10 | | 6 | 12 | | 7 | 14 | | 8 | 16 | | 9 | 18 | | 10 | 20 | | ... | ... | | 50 | 100 | ### **Gráfico:** Para graficar la sucesión \( a(n) = 2n \) en papel milimetrado: 1. **Ejes:** Dibuja un eje horizontal (\( n \)) de 1 a 50 y un eje vertical (\( a(n) \)) de 0 a 100. 2. **Puntos:** Marca cada par ordenado \( (n, a(n)) \). 3. **Conexión:** Une los puntos con una línea recta ascendente, reflejando que la sucesión es estrictamente creciente.  *Nota: La imagen es representativa. Para mayor precisión, utiliza papel milimetrado.* --- ## **Ejercicio 15** **Encontrar los valores para que la sucesión \( a_{n} = (-1)^{n} \) se verifique que es alternada. Calcular los primeros 10 términos (con \( n \leq 10 \)) y representarla gráficamente.** > **Nota:** En tu enunciado original mencionaste \( a_{n} = (-1)^{2} \), lo cual siempre da 1 y no es una sucesión alternada. Asumiré que la sucesión correcta es \( a_{n} = (-1)^{n} \). ### **Solución:** La sucesión \( a_{n} = (-1)^{n} \) alterna entre valores positivos y negativos de manera constante. #### **Propiedad de Alternancia:** - Si \( n \) es par: \( a(n) = 1 \) - Si \( n \) es impar: \( a(n) = -1 \) Esto crea una secuencia que **alternadamente** cambia de signo. #### **Tabla de Valores para \( n \) de 1 a 10:** | \( n \) | \( a(n) = (-1)^{n} \) | |---------|------------------------| | 1 | -1 | | 2 | 1 | | 3 | -1 | | 4 | 1 | | 5 | -1 | | 6 | 1 | | 7 | -1 | | 8 | 1 | | 9 | -1 | | 10 | 1 | ### **Gráfico:** Para graficar la sucesión \( a(n) = (-1)^{n} \) en papel milimetrado: 1. **Ejes:** Dibuja un eje horizontal (\( n \)) de 1 a 10 y un eje vertical (\( a(n) \)) de -1 a 1. 2. **Puntos:** Marca cada par ordenado \( (n, a(n)) \), observando que los valores alternan entre -1 y 1. 3. **Conexión:** Puedes unir los puntos con líneas horizontales que alternen arriba y abajo, demostrando la alternancia.  *Nota: La imagen es ilustrativa. Para mayor precisión, utiliza papel milimetrado.* --- ## **Resumen Gráfico:** Aquí se presentan los gráficos de las sucesiones mencionadas. Para una representación precisa, se recomienda trazarlos manualmente en papel milimetrado o utilizar herramientas gráficas digitales como GeoGebra, Desmos, o similares. 1. **\( a(n) = n^{2} \):** Presenta una curva parabólica creciente. 2. **\( a(n) = \frac{1}{n} \):** Muestra una curva que se aproxima al eje horizontal (0) conforme \( n \) aumenta. 3. **\( a(n) = 2n \):** Línea recta ascendente, demostrando crecimiento lineal. 4. **\( a(n) = (-1)^{n} \):** Puntos que alternan entre -1 y 1. --- Si necesitas ayuda adicional con los gráficos o alguna otra parte de los ejercicios, no dudes en preguntar.