Utiliza el método del ángulo auxiliar para resolver la ecuación: \( 5\sin(x) + 12\cos(x) = 13 \).

Para resolver la ecuación \( 5\sin(x) + 12\cos(x) = 13 \) utilizando el método del ángulo auxiliar, primero observamos que podemos reescribir la combinación lineal de seno y coseno como un único seno: 1. Calculamos la magnitud \( R \) de la combinación: \( R = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \). 2. Ahora, encontramos los ángulos \( a \) tal que \( \cos(a) = \frac{12}{13} \) y \( \sin(a) = \frac{5}{13} \). Esto nos lleva a \( \tan(a) = \frac{5}{12} \). 3. Reescribimos la ecuación inicial como: \( R(\sin(a)\sin(x) + \cos(a)\cos(x)) = 13 \), que se simplifica a \( 13\cos(x - a) = 13 \). 4. Dividiendo ambos lados por 13, tenemos \( \cos(x - a) = 1 \). Esto implica que \( x - a = 2k\pi \) donde \( k \) es un entero. Por lo tanto, \( x = a + 2k\pi \). 5. Finalmente, obtenemos todas las soluciones tomando el ángulo \( a \) conocido \( \tan^{-1}\left(\frac{5}{12}\right) \) y sumando \( 2k\pi \). Las soluciones a la ecuación original son entonces \( x = \tan^{-1}\left(\frac{5}{12}\right) + 2k\pi \).