\begin{tabular}{l} Esercizio 2. (8pt) Discutere e risolvere il seguente sistema lineare al variare del parametro reale \ $$ k $$ : \ $$ \qquad \begin{array}{l} ext { E }\end{array} $$ \ $$ \begin{array}{l}x+2 k y+5 k z=1 \ x+4 y+10 z=1\end{array} $$ \ \hline\end{tabular}

Question

\begin{tabular}{l} Esercizio 2. (8pt) Discutere e risolvere il seguente sistema lineare al variare del parametro reale \ $$ k $$ : \ $$ \qquad \begin{array}{l}	ext { E }\end{array} $$ \ $$ \begin{array}{l}x+2 k y+5 k z=1 \ x+4 y+10 z=1\end{array} $$ \ \hline\end{tabular}

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Per risolvere il sistema lineare al variare del parametro reale $$ k $$:

$$
\begin{cases}
x + 2k y + 5k z = 1 \
x + 4 y + 10 z = 1
\end{cases}
$$

### Passo 1: Eliminazione di $$ x $$

Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:

$$
(x + 2k y + 5k z) - (x + 4 y + 10 z) = 1 - 1
$$

$$
(2k - 4) y + (5k - 10) z = 0
$$

Fattorizziamo $$ k - 2 $$:

$$
2(k - 2) y + 5(k - 2) z = 0
$$

$$
(k - 2)(2y + 5z) = 0
$$

### Passo 2: Analisi delle situazioni in base a $$ k $$

#### Caso 1: $$ k \neq 2 $$

Se $$ k \neq 2 $$, allora $$ k - 2 \neq 0 $$ e si ha:

$$
2y + 5z = 0 \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{5}{2} z
$$

Sostituiamo $$ y $$ nella prima equazione del sistema originale:

$$
x + 2k\left(-\frac{5}{2} z\right) + 5k z = 1
$$

$$
x - 5k z + 5k z = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 1
$$

Quindi, le soluzioni sono parametriche rispetto a $$ z $$:

$$
\begin{cases}
x = 1 \
y = -\frac{5}{2} z \
z \in \mathbb{R}
\end{cases}
$$

#### Caso 2: $$ k = 2 $$

Se $$ k = 2 $$, l'equazione ottenuta diventa:

$$
0 \cdot y + 0 \cdot z = 0
$$

Il sistema originale si riduce a una sola equazione:

$$
x + 4 y + 10 z = 1
$$

Ancora una volta, possiamo esprimere $$ x $$ in funzione di $$ y $$ e $$ z $$:

$$
x = 1 - 4 y - 10 z
$$

Le soluzioni sono parametriche rispetto a $$ y $$ e $$ z $$:

$$
\begin{cases}
x = 1 - 4 y - 10 z \
y, z \in \mathbb{R}
\end{cases}
$$

### Conclusione

Indipendentemente dal valore di $$ k $$:

- **Per ogni $$ k \in \mathbb{R} $$**, il sistema è **compatibile indeterminato** e ammette **infinite soluzioni**.
  
  - **Se $$ k \neq 2 $$**: La soluzione è data da $$ x = 1 $$, $$ y = -\frac{5}{2} z $$, con $$ z $$ parametro libero.
  
  - **Se $$ k = 2 $$**: La soluzione è data da $$ x = 1 - 4 y - 10 z $$, con $$ y $$ e $$ z $$ parametri liberi.
Per ogni valore di $$ k $$, il sistema ha infinite soluzioni. Se $$ k \neq 2 $$, $$ x = 1 $$ e $$ y = -\frac{5}{2} z $$ con $$ z $$ libero. Se $$ k = 2 $$, $$ x = 1 - 4 y - 10 z $$ con $$ y $$ e $$ z $$ liberi.

\begin{tabular}{l} Esercizio 2. (8pt) Discutere e risolvere il seguente sistema lineare al variare del parametro reale \\ \( k \) : \\ \( \qquad \begin{array}{l}\text { E }\end{array} \) \\ \( \begin{array}{l}x+2 k y+5 k z=1 \\ x+4 y+10 z=1\end{array} \) \\ \hline\end{tabular}

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