On considère un échantillon de 20 utilisateurs de téléphones intelligents pour loquel on a observéla variable \( X \) : Ie nombre de mimutes d'utilisation parjour Voici los données de l'échantillon: \( \mathbf{1 , 9 , 1 0 , 1 0 , 1 5 , 1 5 , 2 0 , 2 0 , 2 5 , 2 5 , 3 0 , 3 0 , 3 5 , 3 5 , 4 0 , 4 0 , 4 5 , 4 5 , 1 2 0 , 2 0 0} \) a) Déterninez les seuils en dessous desquels un nombre de minutes est considèré comme extrènement faible et au-delả desquels il est considéré comme extrémement élevé, selon la méthode des quartiles. (2 points charum)

Pour déterminer les seuils des valeurs extrêmes en utilisant la méthode des quartiles, nous devons d'abord classer les données de l'échantillon et calculer les quartiles. Dans cet échantillon, les données ordonnées sont : \( 1, 1, 1, 9, 10, 10, 15, 15, 20, 20, 25, 25, 30, 30, 35, 35, 40, 40, 45, 120, 200 \). Le premier quartile \( Q_1 \) est la valeur à la position \( (n+1)/4 \), où n est le nombre d'observations. Ici, \( n = 20 \), donc \( (20+1)/4 = 5.25 \). Ainsi, \( Q_1 \) se trouve entre les 5ème et 6ème valeurs. En faisant une interpolation, nous avons : \[ Q_1 = (10 - 9) \times 0.25 + 9 = 9.25 \] Le troisième quartile \( Q_3 \) est à la position \( 3(n+1)/4 \). Par conséquent, \( 3(20+1)/4 = 15.75 \). Cela se trouve entre les 15ème et 16ème valeurs : \[ Q_3 = 40 + (40 - 35) \times 0.75 = 40 + 3.75 = 43.75 \] Les seuils extrêmes sont définis comme suit : - Un nombre de minutes est considéré comme extrêmement faible si \( X < Q_1 - 1.5 \times IQR \) (où \( IQR = Q_3 - Q_1 \)). - Un nombre de minutes est considéré comme extrêmement élevé si \( X > Q_3 + 1.5 \times IQR \). Calculons maintenant \( IQR \) : \[ IQR = Q_3 - Q_1 = 43.75 - 9.25 = 34.5 \] Donc : - Seuil faible : \( Q_1 - 1.5 \times IQR = 9.25 - 51.75 = -42.5 \) - Seuil élevé : \( Q_3 + 1.5 \times IQR = 43.75 + 51.75 = 95.5 \) Ainsi, un nombre de minutes d'utilisation est considéré comme extrêmement faible si inférieur à -42.5 (ce qui n’est pas réalisable) et extrêmement élevé si supérieur à 95.5 minutes.