Exercice 3. (5pts) Un individu d'une certaine population peut être atteint de déficience visuelle unniatérale ou bilatérale. On admet que dans la population générale, la probabilité d'être atteint à l'œeil droit est (égale)à celle d'être atteint à l'œeil gauché et que ces deux évènements sont indépendants. Soit p cette probabilité. 1) Calculer la probabilité d'avoir a) au moins un œil atteint, b) aucun œil atteint, c) un ceil atteint, d) deux yeux atteintes. 2) Soit maintenant un individu atteint de déficience visuelle, calculez la probabilité de U pour qu'il ait une déficience unilatérale et la probabilité de B pour qu'il ait une déficience bilatérale.

Question

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**1) Calculer la probabilité d'avoir :**

Soit $$ p $$ la probabilité qu'un œil soit atteint. Les événements d'atteinte de l'œil droit et de l'œil gauche sont indépendants.

a) **Au moins un œil atteint**

La probabilité d'avoir au moins un œil atteint est complémentaire de la probabilité qu'aucun œil ne soit atteint.

$$
P(\text{au moins un œil}) = 1 - P(\text{aucun œil}) = 1 - (1 - p)^2
$$

b) **Aucun œil atteint**

$$
P(\text{aucun œil}) = (1 - p)^2
$$

c) **Un œil atteint**

Il y a deux cas possibles : l'œil droit est atteint et l'œil gauche ne l'est pas, ou l'œil gauche est atteint et l'œil droit ne l'est pas.

$$
P(\text{un œil}) = P(\text{droit}) \times P(\text{gauche non}) + P(\text{gauche}) \times P(\text{droit non}) = 2p(1 - p)
$$

d) **Deux yeux atteints**

$$
P(\text{deux yeux}) = p \times p = p^2
$$

**2) Probabilités conditionnelles pour un individu atteint de déficience visuelle :**

Nous considérons que l'individu est atteint, c'est-à-dire qu'il a au moins un œil atteint. La probabilité conditionnelle pour une déficience unilatérale $$ U $$ et bilatérale $$ B $$ est donnée par :

a) **Probabilité d'une déficience unilatérale $$ P(U) $$**

$$
P(U) = \frac{P(\text{un œil})}{P(\text{au moins un œil})} = \frac{2p(1 - p)}{1 - (1 - p)^2} = \frac{2(1 - p)}{2 - p}
$$

b) **Probabilité d'une déficience bilatérale $$ P(B) $$**

$$
P(B) = \frac{P(\text{deux yeux})}{P(\text{au moins un œil})} = \frac{p^2}{1 - (1 - p)^2} = \frac{p}{2 - p}
$$

**Résumé des résultats :**

1. 
   a) $$ 1 - (1 - p)^2 $$  
   b) $$ (1 - p)^2 $$  
   c) $$ 2p(1 - p) $$  
   d) $$ p^2 $$

2.
   - Probabilité d'une déficience unilatérale $$ U $$ : $$ \frac{2(1 - p)}{2 - p} $$
   - Probabilité d'une déficience bilatérale $$ B $$ : $$ \frac{p}{2 - p} $$
**1) Probabilités :** a) **Au moins un œil atteint:** $$ 1 - (1 - p)^2 $$ b) **Aucun œil atteint:** $$ (1 - p)^2 $$ c) **Un œil atteint:** $$ 2p(1 - p) $$ d) **Deux yeux atteints:** $$ p^2 $$ **2) Probabilités conditionnelles pour un individu atteint :** a) **Unilatérale $$ U $$:** $$ \frac{2(1 - p)}{2 - p} $$ b) **Bilaterale $$ B $$:** $$ \frac{p}{2 - p} $$

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