4. En una ciudad, el \( 40 \% \) de la población tiene cabellos castafios, el \( 25 \% \) tiene ojos castaños y el \( 15 \% \) tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una pe sona al azar: a. Si tiene los cabellos castā̄os, ¿cuál es la probabil đad de que tenga también ojos castaños? b. Si tiene ojos castaños, ciuál es la probabilidad de queno tengã cabellos castaños? c. ¿Cuăl es la probabilidad ne que no tenga cabellos ni ojos castaños?

Claro, resolvamos cada una de las partes paso a paso. **Datos iniciales:** - \( P(C) = 40\% \) : Probabilidad de tener cabellos castaños. - \( P(O) = 25\% \) : Probabilidad de tener ojos castaños. - \( P(C \cap O) = 15\% \) : Probabilidad de tener tanto cabellos como ojos castaños. ### a. Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también ojos castaños? Queremos calcular \( P(O | C) \), la probabilidad de tener ojos castaños dado que tiene cabellos castaños. Usamos la fórmula de probabilidad condicional: \[ P(O | C) = \frac{P(C \cap O)}{P(C)} \] Sustituyendo los valores conocidos: \[ P(O | C) = \frac{15\%}{40\%} = \frac{15}{40} = \frac{3}{8} = 0.375 \text{ o } 37.5\% \] **Respuesta:** La probabilidad es del **37.5%**. ### b. Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños? Queremos calcular \( P(\overline{C} | O) \), la probabilidad de no tener cabellos castaños dado que tiene ojos castaños. Primero, calculamos \( P(\overline{C} | O) \): \[ P(\overline{C} | O) = 1 - P(C | O) \] Donde: \[ P(C | O) = \frac{P(C \cap O)}{P(O)} = \frac{15\%}{25\%} = \frac{15}{25} = 0.6 \text{ o } 60\% \] Entonces: \[ P(\overline{C} | O) = 1 - 0.6 = 0.4 \text{ o } 40\% \] **Respuesta:** La probabilidad es del **40%**. ### c. ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños? Queremos calcular \( P(\overline{C} \cap \overline{O}) \), la probabilidad de no tener ni cabellos ni ojos castaños. Usamos la fórmula de la probabilidad de la unión de dos eventos y luego aplicamos el complemento: \[ P(\overline{C} \cap \overline{O}) = 1 - P(C \cup O) \] Donde: \[ P(C \cup O) = P(C) + P(O) - P(C \cap O) = 40\% + 25\% - 15\% = 50\% \] Entonces: \[ P(\overline{C} \cap \overline{O}) = 1 - 0.5 = 0.5 \text{ o } 50\% \] **Respuesta:** La probabilidad es del **50%**.