1. Voici les cinq premiers termes d'une suite: $$ \frac{3}{5}, \frac{3}{4}, \frac{12}{11}, \frac{12}{7}, \frac{48}{17}, \ldots $$ a) Trouvez le terme général. ( /4 points) b) Dites si cette suite converge ou diverge. Si elle converge, dites vers quel nombre.

Question

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**a) Terme général de la suite**

Observons la suite donnée :
$$
\frac{3}{5}, \frac{3}{4}, \frac{12}{11}, \frac{12}{7}, \frac{48}{17}, \ldots
$$

On remarque que les numérateurs suivent un schéma de multiplication par 4 tous les deux termes :
$$
3, \, 3, \, 12 (=3 \times 4), \, 12, \, 48 (=12 \times 4), \ldots
$$
Pour les dénominateurs, les termes impairs et pairs suivent des séquences distinctes :
- **Termes impairs (n = 2k - 1)** :
  $$
  \text{Dénominateur} = 5, \, 11, \, 17, \ldots = 5 + 6(k-1)
  $$
- **Termes pairs (n = 2k)** :
  $$
  \text{Dénominateur} = 4, \, 7, \, 10, \ldots = 4 + 3(k-1)
  $$

Ainsi, le terme général $$ a_n $$ peut être exprimé de manière **piecewise** en fonction de la parité de $$ n $$ :

$$
a_n = 
\begin{cases}
\displaystyle \frac{3 \times 4^{(n-1)/2}}{3n + 2}, & \text{si } n \text{ est impair}, \
\displaystyle \frac{3 \times 4^{n/2 - 1}}{\frac{3n}{2} + 1}, & \text{si } n \text{ est pair}.
\end{cases}
$$

**b) Convergence ou divergence de la suite**

Examinons le comportement asymptotique de $$ a_n $$ :

- **Pour les termes impairs** ($$ n = 2k - 1 $$) :
  $$
  a_{2k-1} = \frac{3 \times 4^{k-1}}{6k - 1}
  $$
  Le numérateur croît exponentiellement ($$ 4^{k-1} $$) tandis que le dénominateur croît linéairement ($$ 6k - 1 $$). Ainsi, $$ a_{2k-1} $$ tend vers l'infini.

- **Pour les termes pairs** ($$ n = 2k $$) :
  $$
  a_{2k} = \frac{3 \times 4^{k-1}}{3k + 1}
  $$
  De manière similaire, le numérateur croît exponentiellement ($$ 4^{k-1} $$) et le dénominateur croît linéairement ($$ 3k + 1 $$). Donc, $$ a_{2k} $$ tend également vers l'infini.

**Conclusion :**

La suite $$ (a_n) $$ **diverge vers $$ +\infty $$**.
**a) Terme général de la suite** Le terme général $$ a_n $$ de la suite est donné par : $$ a_n = \begin{cases} \frac{3 \times 4^{(n-1)/2}}{3n + 2}, & \text{si } n \text{ est impair}, \ \frac{3 \times 4^{n/2 - 1}}{\frac{3n}{2} + 1}, & \text{si } n \text{ est pair}. \end{cases} $$ **b) Convergence ou divergence de la suite** La suite $$ (a_n) $$ **diverge vers $$ +\infty $$**.

Voici les cinq premiers termes d’une suite:

a) Trouvez le terme général. ( /4 points)
b) Dites si cette suite converge ou diverge. Si elle converge, dites vers quel
nombre.

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Voici les cinq premiers termes d’une suite: a) Trouvez le terme général. ( /4 points) b) Dites si cette suite converge ou diverge. Si elle converge, dites vers quel nombre.