11 Dans chaque cas, détermine l'expression de la dérivée $$ f^{\prime} $$ de la fonction $$ f $$ 1. $$ f: x \rightarrow \frac{2}{x} $$ 2. $$ f: x \rightarrow-3 x^{17} \sin x $$

Question

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**1. Fonction $$ f: x \mapsto \dfrac{2}{x} $$**

Pour déterminer la dérivée $$ f^{\prime}(x) $$, nous pouvons réécrire la fonction en utilisant une puissance de $$ x $$ :

$$
f(x) = \dfrac{2}{x} = 2x^{-1}
$$

Ensuite, appliquons la règle de dérivation des puissances :

$$
f^{\prime}(x) = 2 \cdot (-1)x^{-2} = -2x^{-2}
$$

Enfin, réécrivons l'expression sous une forme fractionnaire :

$$
f^{\prime}(x) = -\dfrac{2}{x^{2}}
$$

**2. Fonction $$ f: x \mapsto -3x^{17} \sin(x) $$**

Pour déterminer la dérivée $$ f^{\prime}(x) $$, nous utilisons la règle du produit, qui stipule que la dérivée d'un produit de deux fonctions $$ u(x) $$ et $$ v(x) $$ est donnée par :

$$
(uv)^{\prime} = u^{\prime}v + uv^{\prime}
$$

Identifions les deux fonctions :

$$
u(x) = -3x^{17} \quad \text{et} \quad v(x) = \sin(x)
$$

Calculons les dérivées de $$ u(x) $$ et $$ v(x) $$ :

$$
u^{\prime}(x) = -3 \cdot 17x^{16} = -51x^{16}
$$
$$
v^{\prime}(x) = \cos(x)
$$

Appliquons maintenant la règle du produit :

$$
f^{\prime}(x) = u^{\prime}(x)v(x) + u(x)v^{\prime}(x) = (-51x^{16})\sin(x) + (-3x^{17})\cos(x)
$$

Simplifions l'expression :

$$
f^{\prime}(x) = -51x^{16} \sin(x) - 3x^{17} \cos(x)
$$

**Résumé des dérivées :**

1. $$ f^{\prime}(x) = -\dfrac{2}{x^{2}} $$

2. $$ f^{\prime}(x) = -51x^{16} \sin(x) - 3x^{17} \cos(x) $$
**1. Dérivée de $$ f(x) = \dfrac{2}{x} $$:** $$ f^{\prime}(x) = -\dfrac{2}{x^{2}} $$ **2. Dérivée de $$ f(x) = -3x^{17} \sin(x) $$:** $$ f^{\prime}(x) = -51x^{16} \sin(x) - 3x^{17} \cos(x) $$

11 Dans chaque cas, détermine l’expression de la
dérivée de la fonction

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