Stabilisci se i punti \( A(1 ; 0), B\left(\frac{1}{2} ;-\frac{3}{4}\right), D(0 ;-1), E(-1 ; 1) \) sono interni, esternio appartengono alla circonfe renza di equazione \( x^{2}+y^{2}-x+2 y+1=0 \) e verificalo graficamente.

Per determinare se i punti \( A(1 ; 0) \), \( B\left(\frac{1}{2} ; -\frac{3}{4}\right) \), \( D(0 ; -1) \) ed \( E(-1 ; 1) \) sono interni, esterni o appartenenti alla circonferenza definita dall'equazione \( x^{2} + y^{2} - x + 2y + 1 = 0 \), seguiamo i seguenti passaggi: ### 1. Trovare il centro e il raggio della circonferenza L'equazione generale della circonferenza è: \[ x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0 \] Nel nostro caso: \[ x^{2} - x + y^{2} + 2y + 1 = 0 \] Completiamo i quadrati per trovare il centro e il raggio. **Per \( x \):** \[ x^{2} - x = \left(x - \frac{1}{2}\right)^{2} - \frac{1}{4} \] **Per \( y \):** \[ y^{2} + 2y = (y + 1)^{2} - 1 \] Sostituendo nell'equazione originale: \[ \left(x - \frac{1}{2}\right)^{2} - \frac{1}{4} + (y + 1)^{2} - 1 + 1 = 0 \] \[ \left(x - \frac{1}{2}\right)^{2} + (y + 1)^{2} = \frac{1}{4} \] **Centro e raggio:** - **Centro \( C \)**: \( \left(\frac{1}{2}, -1\right) \) - **Raggio \( r \)**: \( \frac{1}{2} \) ### 2. Calcolare le distanze dei punti dal centro e confrontarle con il raggio Utilizziamo la formula della distanza tra due punti \( (x_1, y_1) \) e \( (x_2, y_2) \): \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Confrontiamo \( d \) con il raggio \( r = \frac{1}{2} \) per determinare la posizione dei punti rispetto alla circonferenza. #### Punto A \( (1, 0) \): \[ d_A = \sqrt{\left(1 - \frac{1}{2}\right)^2 + (0 - (-1))^2} = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \approx 1.118 \] - **Conclusione**: \( d_A > r \) → **Esterno** #### Punto B \( \left(\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}\right) \): \[ d_B = \sqrt{\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{3}{4} - (-1)\right)^2} = \sqrt{0 + \left(\frac{1}{4}\right)^2} = \frac{1}{4} = 0.25 \] - **Conclusione**: \( d_B < r \) → **Interno** #### Punto D \( (0, -1) \): \[ d_D = \sqrt{\left(0 - \frac{1}{2}\right)^2 + (-1 - (-1))^2} = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 0} = \frac{1}{2} = 0.5 \] - **Conclusione**: \( d_D = r \) → **Sulla circonferenza** #### Punto E \( (-1, 1) \): \[ d_E = \sqrt{\left(-1 - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(1 - (-1)\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 2^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 4} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2} = 2.5 \] - **Conclusione**: \( d_E > r \) → **Esterno** ### 3. Verifica grafica Sebbene non possa fornire un disegno direttamente, possiamo descrivere la disposizione: 1. **Circonferenza**: Centro in \( \left(\frac{1}{2}, -1\right) \) e raggio \( \frac{1}{2} \). 2. **Punto A (1, 0)**: Situato al di fuori della circonferenza. 3. **Punto B \( \left(\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}\right) \)**: Situato all'interno della circonferenza. 4. **Punto D (0, -1)**: Situato esattamente sulla circonferenza. 5. **Punto E (-1, 1)**: Situato al di fuori della circonferenza. ### **Riepilogo** - **A(1, 0)**: Esterno - **B\(\left(\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}\right)\)**: Interno - **D(0, -1)**: Sulla circonferenza - **E(-1, 1)**: Esterno Questi risultati sono stati verificati mediante il calcolo delle distanze rispetto al centro della circonferenza e confermati graficamente tramite la descrizione della disposizione relativa dei punti.