Відомо, що \( A B \perp A C, A B \perp A D, A C \perp A D \) (рис. 8.11). Знайдіт іррізок \( B C \), якщо \( C D=2 \sqrt{43} \mathrm{~cm}, B D=12 \mathrm{~cm}, \angle A B D=60^{\circ} \).

Для вирішення задачі розглянемо систему координат з точкою \( A \) в початку координат \((0, 0, 0)\). Нехай: - \( AB \) розташований вздовж осі \( x \): \( B = (b, 0, 0) \). - \( AC \) розташований вздовж осі \( y \): \( C = (0, c, 0) \). - \( AD \) розташований вздовж осі \( z \): \( D = (0, 0, d) \). Дано: 1. \( BD = 12 \) см: \[ BD = \sqrt{b^2 + d^2} = 12 \implies b^2 + d^2 = 144 \] 2. Кут \( \angle ABD = 60^\circ \). Вектор \( \overrightarrow{BA} = (-b, 0, 0) \), а вектор \( \overrightarrow{BD} = (-b, 0, d) \). Косинус кута між ними: \[ \cos 60^\circ = \frac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{BA}| |\overrightarrow{BD}|} = \frac{b^2}{b \cdot 12} = \frac{b}{12} = 0.5 \implies b = 6 \text{ см} \] Підставляючи \( b = 6 \) в рівняння для \( BD \): \[ 6^2 + d^2 = 144 \implies d^2 = 108 \implies d = 6\sqrt{3} \text{ см} \] 3. Відрізок \( CD = 2\sqrt{43} \) см: \[ CD = \sqrt{c^2 + d^2} = 2\sqrt{43} \implies c^2 + 108 = 4 \cdot 43 = 172 \implies c^2 = 64 \implies c = 8 \text{ см} \] Таким чином, координати точок: - \( B = (6, 0, 0) \) - \( C = (0, 8, 0) \) Знаходимо довжину відрізка \( BC \): \[ BC = \sqrt{(6-0)^2 + (0-8)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см} \] **Відповідь:** Довжина відрізка \( BC \) дорівнює 10 см.