2. Quatre véhicules se présentent successivement à cette même borne. On note $$ X $$ la variable aléatoire associée au nombre de succès dans la répétition, de manière indépendantes, des quatre épreuves de Bernoulli. a) Exprimer à l'aide d'une phrase les évènements $$ \{X=2 \} $$ et $$ \{X \leqslant 3\} $$. b) Calculer $$ P(X=4) $$ et $$ P(X0) $$.

Question

2. Quatre véhicules se présentent successivement à cette même borne. On note $$ X $$ la variable aléatoire associée au nombre de succès dans la répétition, de manière indépendantes, des quatre épreuves de Bernoulli. a) Exprimer à l'aide d'une phrase les évènements $$ \{X=2 \} $$ et $$ \{X \leqslant 3\} $$. b) Calculer $$ P(X=4) $$ et $$ P(X>0) $$.

UpStudy AI · Accepted Answer

**a) Expression des événements**

- **$$ \{X = 2\} $$** : Cet événement correspond au fait qu’exactement **deux** des quatre véhicules qui se présentent à la borne réussissent leur transaction.

- **$$ \{X \leqslant 3\} $$** : Cet événement signifie qu’**au plus trois** des quatre véhicules qui se présentent à la borne réussissent leur transaction.

---

**b) Calcul des probabilités**

Supposons que chaque essai (c’est-à-dire chaque véhicule passant à la borne) est une épreuve de Bernoulli indépendante avec une probabilité de succès $$ p $$.

1. **Calcul de $$ P(X = 4) $$**

La probabilité que les quatre véhicules réussissent est donnée par :
   $$
   P(X = 4) = p^4
   $$
   Cela s’explique par le fait que chaque véhicule doit réussir indépendamment, et donc les probabilités se multiplient.

2. **Calcul de $$ P(X > 0) $$**

La probabilité qu’au moins un véhicule réussisse est le complément de la probabilité qu’aucun véhicule ne réussisse. Ainsi :
   $$
   P(X > 0) = 1 - P(X = 0)
   $$
   Calculons $$ P(X = 0) $$ :
   $$
   P(X = 0) = (1 - p)^4
   $$
   Donc :
   $$
   P(X > 0) = 1 - (1 - p)^4
   $$

**Résumé :**
$$
P(X = 4) = p^4 \quad \text{et} \quad P(X > 0) = 1 - (1 - p)^4
$$
**a) Expression des événements** - **$$ \{X = 2\} $$** : Exactement deux des quatre véhicules réussissent. - **$$ \{X \leqslant 3\} $$** : Au plus trois des quatre véhicules réussissent. --- **b) Calcul des probabilités** 1. **$$ P(X = 4) $$** : Probabilité que tous les quatre véhicules réussissent. $$ P(X = 4) = p^4 $$ 2. **$$ P(X > 0) $$** : Probabilité qu'au moins un véhicule réussisse. $$ P(X > 0) = 1 - (1 - p)^4 $$ **Résumé :** $$ P(X = 4) = p^4 \quad \text{et} \quad P(X > 0) = 1 - (1 - p)^4 $$

Quatre véhicules se présentent successivement à cette même borne.
On note la variable aléatoire associée au nombre de succès dans la répétition, de manière indépendantes, des quatre épreuves de Bernoulli.
a) Exprimer à l’aide d’une phrase les évènements et .
b) Calculer et .

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Quatre véhicules se présentent successivement à cette même borne. On note la variable aléatoire associée au nombre de succès dans la répétition, de manière indépendantes, des quatre épreuves de Bernoulli. a) Exprimer à l’aide d’une phrase les évènements et . b) Calculer et .