2. Quatre véhicules se présentent successivement à cette même borne. On note \( X \) la variable aléatoire associée au nombre de succès dans la répétition, de manière indépendantes, des quatre épreuves de Bernoulli. a) Exprimer à l'aide d'une phrase les évènements \( \{X=2 \} \) et \( \{X \leqslant 3\} \). b) Calculer \( P(X=4) \) et \( P(X>0) \).

Pour répondre à la première partie : a) L'événement \( \{X=2\} \) représente le fait qu'il y ait exactement deux succès parmi les quatre véhicules qui se présentent à la borne. En d'autres termes, cela signifie que sur les quatre tentatives, deux véhicules ont réussi et deux autres ont échoué. Quant à l'événement \( \{X \leqslant 3\} \), cela indique qu'il y a au maximum trois succès, ce qui signifie qu'un seul véhicule peut avoir échoué, mais tous les scénarios de 0, 1, 2 ou 3 succès sont possibles. b) Pour calculer \( P(X=4) \), nous assumons que la probabilité de succès d'un véhicule à la borne est \( p \). Donc, \( P(X=4) = p^4 \), ce qui signifie que les quatre véhicules réussissent. Pour \( P(X>0) \), nous calculons la probabilité qu'au moins un véhicule ait réussi, ce que nous pouvons obtenir en soustrayant la probabilité de l'événement contraire (c’est-à-dire que tous échouent) : \[ P(X>0) = 1 - P(X=0) = 1 - (1-p)^4. \]