4. Решите уравнение \( \left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{2}+x-3\right)=5 \).

Решим уравнение: \[ \left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{2}+x-3\right) = 5 \] Введём замену \( y = x^{2} + x \). Тогда уравнение принимает вид: \[ (y + 1)(y - 3) = 5 \] Раскроем скобки: \[ y^{2} - 2y - 3 = 5 \] Перенесём 5 в левую часть: \[ y^{2} - 2y - 8 = 0 \] Решим квадратное уравнение относительно \( y \): \[ y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2} \] Таким образом, получаем два значения для \( y \): \[ y = 4 \quad \text{или} \quad y = -2 \] Теперь вернёмся к замене \( y = x^{2} + x \) и решим два полученных уравнения: 1. \( x^{2} + x - 4 = 0 \) Решаем квадратное уравнение: \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2} \] Получаем два действительных корня: \[ x = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}, \quad x = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2} \] 2. \( x^{2} + x + 2 = 0 \) Вычислим дискриминант: \[ D = 1 - 8 = -7 \] Поскольку дискриминант отрицательный, корни будут комплексными: \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{-7}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{7}}{2} \] Итак, все корни уравнения: \[ x = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}, \quad x = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}, \quad x = \frac{-1 + i\sqrt{7}}{2}, \quad x = \frac{-1 - i\sqrt{7}}{2} \]