5. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una jugada (llamémosle asi a obtener par, do- ble par, tercia, full o póker) al extraer una mano ( 5 cartas) de una baraja inglesa?

Para calcular la probabilidad de obtener una **jugada** (es decir, una pareja, doble pareja, trío, full house o póker) al extraer una mano de 5 cartas de una baraja inglesa de 52 cartas, seguiremos estos pasos: ### Paso 1: Determinar el número total de manos posibles El número total de combinaciones posibles al extraer 5 cartas de una baraja de 52 es: \[ C(52, 5) = \frac{52!}{5!(52-5)!} = 2,598,960 \] ### Paso 2: Calcular el número de manos favorables para cada tipo de jugada 1. **Pareja (One Pair)** \[ C(13, 1) \times C(4, 2) \times C(12, 3) \times 4^3 = 13 \times 6 \times 220 \times 64 = 1,098,240 \] 2. **Doble Pareja (Two Pair)** \[ C(13, 2) \times [C(4, 2)]^2 \times C(11, 1) \times 4 = 78 \times 36 \times 11 \times 4 = 123,552 \] 3. **Trío (Three of a Kind)** \[ C(13, 1) \times C(4, 3) \times C(12, 2) \times 4^2 = 13 \times 4 \times 66 \times 16 = 54,912 \] 4. **Full House** \[ C(13, 1) \times C(4, 3) \times C(12, 1) \times C(4, 2) = 13 \times 4 \times 12 \times 6 = 3,744 \] 5. **Póker (Four of a Kind)** \[ C(13, 1) \times C(4, 4) \times C(12, 1) \times C(4, 1) = 13 \times 1 \times 12 \times 4 = 624 \] ### Paso 3: Sumar todas las manos favorables \[ 1,098,240 \ (Pareja) + 123,552 \ (Doble Pareja) + 54,912 \ (Trío) + 3,744 \ (Full House) + 624 \ (Póker) = 1,281,072 \] ### Paso 4: Calcular la probabilidad \[ \text{Probabilidad} = \frac{\text{Manos Favorables}}{\text{Total de Manos}} = \frac{1,281,072}{2,598,960} \approx 0.4929 \ (\text{o} \ 49.3\%) \] ### **Conclusión** La probabilidad de obtener una jugada (pareja, doble pareja, trío, full house o póker) al extraer una mano de 5 cartas de una baraja inglesa es aproximadamente **49.3%**.