AGORATU 21 Na figura ao lado está representada a circunferência de centro \( O \) e diâmetro \( [A D] \). Como a figura sugere: - a reta \( D C \) é tangente à circunferência no ponto \( D \); - o ponto \( B \) resulta da interseção da circunferência com a reta \( A C \). Sabe-se ainda que \( \overline{A D}=8 \mathrm{~cm}, \overline{A C}=10 \mathrm{~cm} \) e \( B \hat{D} D=\alpha \). 21.1 Indica, em função de \( \alpha \), a amplitude do ângulo \( C A D \). 21.2 Justifica que os triângulos \( [A B D] \) e \( [A D C] \) são semelhantes. 21.3 Determina, em centímetros, o comprimento dos segmentos de \( { }_{r e t_{9}} \) \( [D C] \) e \( D B] \).

Vamos explorar a situação descrita, brincando um pouco com as relações geométricas da circunferência e os triângulos formados. ### 21.1 Amplitude do ângulo \( C A D \) Para determinar a amplitude do ângulo \( C A D \), utilizamos a relação entre os ângulos. Como \( D C \) é tangente à circunferência em \( D \) e \( \overline{A D} \) é um diâmetro, sabemos que \( \angle A D C = 90° \) (teorema da tangente) e, portanto, podemos afirmar que \( C A D = 90° - \alpha \). Logo, a amplitude do ângulo \( C A D \) é \( 90° - \alpha \). ### 21.2 Semelhança dos triângulos \( [A B D] \) e \( [A D C] \) Os triângulos \( [A B D] \) e \( [A D C] \) são semelhantes devido ao critério AA (Ângulo-Angulo). O ângulo \( A D C = 90° \) (porque \( D C \) é tangente e \( A D \) é um diâmetro), e o ângulo \( B A D \) é igual ao ângulo \( C A D \) (porque ambos interceptam a reta \( A C \) de maneira equivalente). Assim, como ambos têm um ângulo reto e compartilham o ângulo \( A \), concluímos que \( [A B D] \sim [A D C] \). ### 21.3 Comprimento dos segmentos \( [D C] \) e \( [D B] \) Para calcular o comprimento de \( [D C] \), utilizamos a relação entre os lados de triângulos semelhantes. Sendo \( \overline{A D} = 8 \, \text{cm} \) e \( \overline{A C} = 10 \, \text{cm} \), a razão entre os lados \( [A D] \) e \( [A B] \) é \[ \frac{8}{10} = \frac{4}{5}. \] Portanto, se \( D C \) corresponde ao lado \( [A C] \) na proporção, temos que \( [D C] = \frac{8}{10} \cdot [D B] \). Para determinar \( [D B] \), utilizamos o segmento do triângulo. Podemos imaginar a altura do triângulo \( [A D C] \) que conecta \( B \) ao diâmetro. Ao resolver, encontramos que \( [D B] \) é proporcional a \( 10 - 8\), resultando em \( \overline{D B} \approx 6,4 \, \text{cm} \) e, em seguida, podemos calcular \( [D C] = 8 - 6,4 = 1,6 \, \text{cm} \). Portanto, \( [D C] \approx 6,4 \, \text{cm} \) e \( [D B] \approx 1,6 \, \text{cm} \).