Pregunta
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\( 3==-2\left(\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)-i \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)\right) \) a pour argument

Ask by Campos Daniel. in Côte d'Ivoire
Feb 03,2025

Solución de tutoría real

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L'argument du nombre complexe est \( \frac{5\pi}{6} \) radians.

Solución

L'argument du nombre complexe \( -2\left(\cos \left(\frac{\pi}{6}\right) - i \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)\right) \) est : \[ \frac{5\pi}{6} \text{ radians} \] **Explication :** 1. **Expression du nombre complexe :** \[ z = -2\left(\cos \left(\frac{\pi}{6}\right) - i \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)\right) \] 2. **Réécriture en forme polaire :** \[ z = 2 \left[-\cos \left(\frac{\pi}{6}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)\right] \] 3. **Détermination de l'argument :** - On cherche un angle \(\theta\) tel que : \[ \cos(\theta) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \quad \text{et} \quad \sin(\theta) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \] - Cela correspond à : \[ \theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \] Ainsi, l'argument de \( z \) est bien \(\frac{5\pi}{6}\) radians.

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Extra Insights

L'argument de l'expression est lié à la forme complexe, qui combine partie réelle et partie imaginaire. Dans ce cas, \( \cos \left(\frac{\pi}{6}\right) \) correspond à \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) et \( \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) \) à \( \frac{1}{2} \). En développant l'expression, on obtient \( -2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - i \frac{1}{2}\right) \), qui se simplifie à \( -\sqrt{3} + i \). L'argument de ce nombre complexe est donné par \( \tan^{-1}\left(\frac{\text{partie imaginaire}}{\text{partie réelle}}\right) \) et se retrouve dans le deuxième quadrant. Pour déterminer l'argument, il est important de prendre en compte la position du nombre complexe sur le plan complexe. Dans ce cas, puisque la partie réelle est négative et que la partie imaginaire est positive, l'argument se calculera comme \( \pi - \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \), donnant ainsi un argument final de \( \frac{5\pi}{6} \) ou \( 150^\circ \). Amuse-toi à tracer ce point sur le plan complexe et à observer les angles formés avec les axes !

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