$$ \left. \begin{array} { l }{ 37 \int \sqrt { x } d x } \ { x ^ { 1 / 2 } d x } \ { = \frac { 2 } { 3 } x ^ { 3 / 2 } } \ { = \frac { 2 } { 3 } \sqrt[ 2 ] { x ^ { 3 } } } \ { = \frac { 2 } { 3 } x \sqrt { x } + C } \end{array} ight. $$

Question

$$ \left. \begin{array} { l }{ 37 \int \sqrt { x } d x } \ { x ^ { 1 / 2 } d x } \ { = \frac { 2 } { 3 } x ^ { 3 / 2 } } \ { = \frac { 2 } { 3 } \sqrt[ 2 ] { x ^ { 3 } } } \ { = \frac { 2 } { 3 } x \sqrt { x } + C } \end{array} ight. $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Para resolver la integral $$ 37 \int \sqrt{x} \, dx $$, sigamos los pasos detalladamente:

1. **Identificar la integral**: La integral que tenemos es $$ \int \sqrt{x} \, dx $$.

2. **Reescribir la función**: La función $$ \sqrt{x} $$ se puede reescribir como $$ x^{1/2} $$.

3. **Aplicar la regla de la integral**: La regla para integrar $$ x^n $$ es:
   $$
   \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
   $$
   donde $$ n \neq -1 $$.

4. **Calcular la integral**: En nuestro caso, $$ n = \frac{1}{2} $$:
   $$
   \int x^{1/2} \, dx = \frac{x^{(1/2) + 1}}{(1/2) + 1} + C = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3} x^{3/2} + C
   $$

5. **Multiplicar por 37**: Ahora, multiplicamos el resultado de la integral por 37:
   $$
   37 \int \sqrt{x} \, dx = 37 \left( \frac{2}{3} x^{3/2} + C \right) = \frac{74}{3} x^{3/2} + 37C
   $$

6. **Resultado final**: Por lo tanto, la solución a la integral es:
   $$
   37 \int \sqrt{x} \, dx = \frac{74}{3} x^{3/2} + C'
   $$
   donde $$ C' = 37C $$ es una constante de integración.

Así que la respuesta final es:
$$
\frac{74}{3} x^{3/2} + C'
$$
La integral $$ 37 \int \sqrt{x} \, dx $$ se resuelve como $$ \frac{74}{3} x^{3/2} + C $$.

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